Мы будем рассматривать решения уравнения Ньютона
\[
m \ddot{s}=F(\dot{s}, s, t)
\]
в предположении, что имеет место интеграл энергии. Правую часть (1) считаем достаточно гладкой.
Теорема. Уравнение (1) имеет первый интеграл вида
\[
H=\frac{m \dot{s}^{2}}{2}+V(s)
\]
тогда и только тогда, когда
\[
F=F(s) .
\]
При этом
\[
V(s)=-\int F(s) d s .
\]
Доказательство. Пусть $s(t)$ – движение. Вычислим
\[
\begin{array}{c}
\frac{d}{d t} H\left(\frac{d s}{d t}, s(t)\right)=\frac{d}{d t} \frac{m}{2}\left(\frac{d s}{d t}\right)^{2}+\frac{d}{d t} V(s(t))= \\
=m \frac{d s}{d t} \frac{d^{2} s}{d t^{2}}+V^{\prime}(s(t)) \frac{d s}{d t}=\left[F\left(\frac{d s}{d t}, s(t), t\right)+V^{\prime}(s(t))\right] \frac{d s}{d t} .
\end{array}
\]
Тождественный нуль получим тогда и только тогда, когда
\[
\left[F(\dot{s}, s, t)+V^{\prime}(s)\right] \dot{s} \equiv 0 .
\]
При $\dot{s}
eq 0$ это значит, что
\[
F(\dot{s}, s, t)=-V^{\prime}(s),
\]
а при $\dot{s}=0$ по непрерывности верно то же самое. Полученное выражение для $F$ и доказывает георему.
Потенциальная энергия $V$ определена с точностью до постоянной. То, что $F=F(s)$, имеет такие следствия: решения уравнения Ньютона допускают
А) сдвиг по времени: если $s(t)$ – движение, то и $s(t+\tau)$ тоже движение (свойство автономности);
Б) инверсию времени: если $s(t)$ – движение, то и $s(-t)$ тоже движение.
Для каждого движения $s(t)$ имеем $H(\dot{s}(t), s(t))=h$, где константа $h$ определяется по начальным условиям или задается из каких-либо других соображений. Поскольку $m \dot{s}^{2} / 2 \geqslant 0$, при движении всегда выполняется неравенство $V(s(t)) \leqslant h$.
ОБЛАСТЬ ВОЗМОЖНОСТИ ДВИЖЕНИЯ:
\[
\mathfrak{R}^{h}=\{s: V(s) \leqslant h\}
\]
состоит, вообще говоря, из нескольких связных кусков (рис. 42); в случае, когда один из кусков есть замкнутый отрезок (справа на рис. 42), говорят о движении в потенциальной яме; предполагается, что внутри этого отрезка $V(s)<h$.
Как известно, важным моментом при построении графика функции $V(s)$ является отыскание множества ее критических точек:
\[
\left\{s^{*}: V^{\prime}\left(s^{*}\right)=0\right\} \text {. }
\]
Поскольку уравнение Ньютона у нас в силу теоремы имеет вид
\[
m \ddot{s}=-V^{\prime}(s),
\]
видим, что критические точки потенциальной энергии имеют прозрачный динамический смысл – каждая из них есть положение равновесия: движение $s(t) \equiv s^{*}$ возможно тогда и только тогда, когда $V^{\prime}\left(s^{*}\right)=0$. Энергия равновесия равна
\[
h^{*}=V\left(s^{*}\right) \text {. }
\]
Это – соответствующее $s^{*}$ критическое значение функции: При
изменении $h$ область возможности движения $\mathfrak{R}^{h}$ тоже меняется, а когда $h$ проходит критическое значение $h^{*}$, то, вообще говоря, меняется число связных компонент у $\mathfrak{M}^{h}$.
Будем говорить, что точка $s_{i}=s\left(t_{i}\right)$ есть точка остановки (точка поворота) для движения $s(t)$, если $\dot{s}\left(t_{i}\right)=0$, и при этом
\[
V^{\prime}\left(s_{i}\right)
eq 0 \text {. }
\]
Заметим, что тогда $V\left(s_{i}\right)=h$, т. е. мы выходим на границу $\mathfrak{M}^{h}$. Разложим $s(t)$ в ряд Тейлора в окрестности $t_{i}$ :
\[
s(t)=s_{i}+\left(\frac{d s}{d t}\right)_{t=t_{i}}\left(t-t_{i}\right)+\left(\frac{d^{2} s}{d t^{2}}\right)_{t=t_{i}} \frac{\left(t-t_{i}\right)^{2}}{2}+O\left(\left(t-t_{i}\right)^{3}\right),
\]
и воспользуемся (3) с учетом (4):
\[
s(t)=s_{i}-\frac{V^{\prime}\left(s_{i}\right)}{m} \frac{\left(t-t_{i}\right)^{2}}{2}+O\left(\left(t-t_{i}\right)^{3}\right) .
\]
При достаточно малых $t-t_{i}$ изменение $s(t)$ будет определяться вторым слагаемым. Таким образом, движение доходит до точки остановки (до границы $\mathfrak{M}^{h}$ ) и поворачивает назад (рис. 43).
Движение $s(t)$ однозначно определяется начальными условиями $s_{0}, \dot{s}_{0}$. Сейчас мы уже знаем, что если $\dot{s}_{0}=0$, то движение либо вечно останется в точке $s_{0}$ (при $V^{\prime}\left(s_{0}\right)=0$ ), либо покинет эту точку (при $V^{\prime}\left(s_{0}\right)
eq 0$ ) практически равноускоренно. Впредь будем считать $\dot{\boldsymbol{s}}_{0}
eq 0$. Тогда $d s / d t$ сохраняет знак в течение некоторого интервала времени, и из интеграла энергии в области $V<h$ (строго меньше) получим
\[
\frac{d s}{d t}= \pm \sqrt{\frac{2}{m}(h-V(s))},
\]
так что $s=s(t)$ – монотонная функция и имеет обратную $t=$ $=t(s)$. Ее можно найти:
\[
\pm \frac{d s}{\sqrt{(2 / m)(h-V(s))}}=d t, t-t_{0}= \pm \int_{s_{0}}^{s} \frac{d s}{\sqrt{2 / m(h-V(s))}} .
\]
Чтобы получить $s(t)$, нам надо проделать алгебраические действия, вычислить определенный интеграл и взять обратную функцию. Решение с помощью этих операций составляет
ИНТЕГРИРОВАНИЕ В КВАДРАТУРАХ
которое, как правило, неисполнимо в элементарных функциях.
Tеорема. Пусть движение $s(t)$ с энергией $h$ происходит в потенциальной яме $\left[s_{2}(h), s_{1}(h)\right]$, причем $s_{i}$ – точки остановки: $V^{\prime}\left(s_{i}\right)
eq 0$. Тогда $s(t)$ –
ПЕРИОДИЧЕСКОЕ ДВИЖЕНИЕ
Периодическое движение, т. е. $s(t+\tau)=s(t)$, где
\[
\tau(h)=2 \int_{s_{1}(h)}^{s_{2}(h)} \frac{d s}{\sqrt{2 / m(h-V(s))}} .
\]
Это движение попеременно достигает $s_{1}$ и 32 .
Доказательство. Будем считать $\dot{s}_{0}>0$. Тогда в некотором ингервале времени $\frac{d s}{d t}>0$, так что в (6) берем знак + . Ненриятность в том, что при $s \rightarrow s_{1}$ подкоренное выражение стремится к бесконечности.
Лемма Адамара. Если $\chi(x)$ – гладкая функция, $\chi(0)=0$, то $\chi(x)=x \psi(x)$, причем $\psi(0)=\chi^{\prime}(0)$. В самом деле,
\[
\begin{array}{c}
\psi(x)=\int_{0}^{1} \chi^{\prime}(x \cdot t) d t \Rightarrow \chi(x)=\chi(x)-\chi(0)= \\
=\int_{0}^{x} \chi^{\prime}(\xi) d \xi=\int_{0}^{1} \chi^{\prime}(x t) d(x t)=\chi \psi(x),
\end{array}
\]
что и требовалось. В силу леммы
\[
\frac{2}{m}(h-V(s))=\left(s-s_{1}\right) \psi(s), \psi\left(s_{1}\right)=-\frac{2}{m} V^{\prime}\left(s_{1}\right)
eq 0 .
\]
Следовательно,
\[
t-t_{0}=\int_{s_{0}}^{\mid s_{1}} \frac{d s}{\sqrt{\left|s-s_{1}\right||\psi(s)|}},
\]
причем $\psi$ – ограниченная функция. Этот интеграл сходится, т. е. $t \rightarrow t_{1}$ при $s \rightarrow s_{1}$, и наоборот. Отсюда следует, что $s(t)$ придет в сколь угодно малую окрестность $s_{1}$, в то время как движение в некоторой конечной окрестности нами уже изучено: точка дойдет до $s_{1}$ и повернет назад (рис. 43). Потом она дойдет до $s_{2}$ и снова повернет назад. Через время
\[
\tau=\int_{s_{0}}^{s_{1}}-\int_{s_{1}}^{s_{2}}+\int_{s_{2}}^{s_{0}}=2 \int_{s_{1}}^{s_{z}}
\]
точка снова будет в $s_{0}$ со скоростью $\dot{s}(\tau)>0$. Из интеграла энергии $\dot{s}(\tau)=\dot{s}(0)$. В итоге у движений $s(t-\tau), s(t)$ начальные условия совпадают, т. е. и сами они совпадают по теореме единственности решения. Доказательство.завершено.
Обратим внимание на точку минимума $\bar{s}$, заведомо имеющуюся внутри потенциальной ямы. При $h \rightarrow V(\bar{s})$ границы $s_{i}(h)$ стягиваются, и формула для $\tau(h)$ не позволяет понять поведение $\tau$.
Поэтому взамен (7) будет выведена
ФОРМУЛА ЛИНДШТЕДТА.
Допустим, что $\bar{s}=0$ – точка невырожденного минимума:
\[
V(0)=0, \quad V^{\prime}(0)=0, \quad V^{\prime \prime}(0)=k>0 .
\]
Пусть $l$ – какой-либо параметр размерности длины. Положим
\[
V^{\prime \prime \prime}(0)=\frac{k}{l} \gamma, V^{\prime \prime \prime}(0)=\frac{k}{l^{2}} \delta,
\]
где $\gamma, \delta$ – безразмерные величины. Тогда при достаточно/малых $h$ период колебаний
\[
\tau(h)=2 \pi \sqrt{\frac{m}{k}}\left(1+\frac{5 \gamma^{2}-3 \delta}{24} \frac{h}{k l^{2}}+O\left(\left(\frac{h}{k l^{2}}\right)^{2}\right)\right)
\]
(величина $\eta=h / k l^{2}$ называется безразмерной энергией; мы придали формуле именно такой вид, ибо на практике говорить о «малости» имеет смысл только для безразмерных величин; к этому мы еще вернемся).
Доказательство. Величины $m, l, k$ размерно независимы, так что их можно принять равными единице.
Лемма Морса. Существует замена переменной $s=f(q)$ такая, что $V(f(q))=q^{2} / 2$.
Действительно, применим дважды лемму Адамара:
\[
\begin{aligned}
V(s)= & s \psi(s), \psi(0)=V^{\prime}(0):=0 \Rightarrow \psi(s)=\frac{s}{2} \varphi(s) \Rightarrow \\
& \Rightarrow V(s)=\frac{s^{2}}{2} \varphi(s), \varphi^{\prime}(0)=V^{\prime \prime}(0)=1 .
\end{aligned}
\]
Осталось положить $q(s)=s \sqrt{\varphi(s)}$.
Неравенство $V(s) \leqslant h$ приобретает вид $|q| \leqslant V \overline{2 h}=a$. Период
\[
\tau(h)=2 \int_{s_{1}(h)}^{s_{2}(h)} \frac{d s}{\sqrt{2(h-V(s))}}=2 \int_{u}^{a} \frac{f^{\prime}(q) d q}{\sqrt{2 h-q^{2}}} .
\]
Положим $q=\sqrt{2 h} \sin \xi$. Тогда
\[
\tau(h)=2 \int_{-\frac{\pi}{2}}^{+\frac{\pi}{2}} f^{\prime}(\sqrt{2 h} \sin \xi) d \xi .
\]
Разложим $f$ в ряд Тейлора:
\[
\begin{array}{l}
f=q+\frac{B}{2} q^{2}+\frac{C}{6} q^{3}+\frac{D}{24} q^{4}+O\left(q^{5}\right), \\
f^{\prime}=1+B q+\frac{C}{2} q^{2}+\frac{D}{6} q^{3}+O\left(q^{4}\right) .
\end{array}
\]
Поэтому
\[
\begin{array}{c}
\tau(h)=2 \int_{-\frac{\pi}{2}}^{+\frac{\pi}{2}}\left(1+B \sqrt{2 h} \sin \xi+C h \sin ^{2} \xi+\frac{D}{6} \sqrt{2 h^{3}} \sin ^{3} \xi+\right. \\
\left.+O\left(h^{2} \sin ^{2} \xi\right)\right) d \xi .
\end{array}
\]
Интегралы от нечетных функций $\sin \xi$ и $\sin ^{3} \xi$ равны нулю, и
\[
\begin{array}{c}
\tau(h)=2 \int_{-\frac{\pi}{2}}^{+\frac{\pi}{2}}\left(1+C h \sin ^{2} \xi\right) d \xi+O\left(h^{2}\right)= \\
=2 \pi\left(1+\frac{1}{2} C h+0\left(h^{2}\right)\right) .
\end{array}
\]
Осталось вычислить $C$. Для этого подставим разложение для $s=$ $=f(q)$ в разложение
\[
V(s)=\frac{s^{2}}{2}+\frac{\gamma s^{3}}{6}+\frac{\delta s^{4}}{24}+O\left(s^{5}\right) .
\]
Получим
\[
\begin{array}{c}
\frac{q^{2}}{2}=\frac{q^{2}}{2}+\left[\frac{B}{2}+\frac{\gamma}{6}\right] q^{3}+\left[\frac{\delta}{24}+\frac{B^{2}}{8}+\frac{i^{2 C}}{2 \cdot 6}+\frac{3 \gamma B}{2 \cdot 6}\right] \dot{q}^{4}+O\left(q^{5}\right), \\
B=-\frac{\gamma}{3}, C=\frac{5 \gamma^{2}-38}{12} .
\end{array}
\]
Доказательство на этом закончено.
Условимся считать безразмерную величину $\varepsilon$ малой, если величинами вида $k \varepsilon^{2}$ можно пренебречь при заданной точности вычислений. Например, если задана точность $10^{-2 n}$ и известно, что $k$ не превосходит несколько десятков, то $\varepsilon$ будет малой, если $|\varepsilon|<10^{-(n+1)}$.
Из разложения $f(q)$ видно, что величины $q$ и $s$ малы одновременно. Если мала безразмерная амплитуда колебаний $q / l=\sqrt{2 h / k l^{2}}$, то безразмерной энергией $\eta$ уже можно пренебречь, и период получается равным
\[
\tau=2 \pi \sqrt{\frac{\bar{m}}{k}},
\]
если же мала энергия колебаний, то
\[
\tau=2 \pi \sqrt{\frac{m}{k}}\left(1+\frac{5 \gamma^{2}-3 \delta}{24} \frac{h}{k l^{2}}\right) .
\]
Нам осталось рассмотреть
АСИМПТОТИЧЕСКИЕ ДВИЖЕНИЯ
Асимптотические движения, которые происходят в случае, когда одна из границ нетривиальной $\left(s_{1}
eq s_{2}\right.$ ) потенциальной ямы является не точкой остановки, а положением равновесия: $V^{\prime}\left(s_{1}\right)=0$. Пусть $\dot{s}_{0}>0$. По лемме Адамара, примененной дважды, имеем
\[
\frac{2}{m}(h-V(s))=\left(s-s_{1}\right)^{2} \varphi(s),
\]
причем $\varphi\left(s_{1}\right)
eq 0$, если критическая точка невырождена, т. е. $V^{\prime \prime}\left(s_{1}\right)
eq 0$. Впрочем, это не обязательно. Видим, что
\[
t-t_{0}=\int_{s_{0}}^{s} \frac{d s}{\left|s-s_{1}\right| \sqrt{|\Phi(s)|}},
\]
т. е. интеграл расходится. Это значит, что $s(t) \rightarrow s_{1}$ при $t \rightarrow \infty$. Поскольку время допускает инверсию, существует движение $s^{-}(t)=$ $=s(-t)$ такое, что $s^{-}(t) \rightarrow s_{1}$ при $t \rightarrow-\infty$. Такое движение выходит из сколь угодно малой окрестности точки $s_{1}$, что указывает на неустойчивость имеющегося равновесия. Напротив, в окрестности точки минимума движение носит колебательный характер, т. е. устойчиво. Эти соображения легко довести до строгих доказательств.
Движения в $\mathfrak{M}^{h}$ типа $\left(-\infty, s_{3}\right.$ ) просто уходят в бесконечность.
