Главная > ЛЕКЦИИ ПО КЛАССИЧЕСКОЙ ДИНАМИКЕ (B.Татаринов)
НАПИШУ ВСЁ ЧТО ЗАДАЛИ
СЕКРЕТНЫЙ БОТ В ТЕЛЕГЕ
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Пред.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
41
42
43
44
45
46
47
48
49
50
51
52
53
54
55
56
57
58
59
60
61
62
63
64
65
66
67
68
69
70
71
72
73
74
75
76
77
78
79
80
81
82
83
84
85
86
87
88
89
90
91
92
93
94
95
96
97
98
99
100
101
102
103
104
105
106
107
108
109
110
111
112
113
114
115
116
117
118
119
120
121
122
123
124
125
126
127
128
129
130
131
132
133
134
135
136
137
138
139
140
141
142
143
144
145
146
147
148
149
150
151
152
153
154
155
156
157
158
159
160
161
162
163
164
165
166
167
168
169
170
171
172
173
174
175
176
177
178
179
180
181
182
183
184
185
186
187
188
189
190
191
192
193
194
195
196
197
198
199
200
201
202
203
204
205
206
207
208
209
210
211
212
213
214
215
216
217
218
219
220
221
222
223
224
225
226
227
228
229
230
231
232
233
234
235
236
237
238
239
240
241
242
243
244
245
246
247
248
249
250
251
252
253
254
255
256
257
258
259
260
261
262
263
264
265
266
267
268
269
270
271
272
273
274
275
276
277
278
279
280
281
282
283
284
285
286
287
288
289
290
291
292
293
294
295
296
След.
Макеты страниц

Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше

Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике

ДЛЯ СТУДЕНТОВ И ШКОЛЬНИКОВ ЕСТЬ
ZADANIA.TO

Мы будем рассматривать решения уравнения Ньютона
ms¨=F(s˙,s,t)

в предположении, что имеет место интеграл энергии. Правую часть (1) считаем достаточно гладкой.
Теорема. Уравнение (1) имеет первый интеграл вида
H=ms˙22+V(s)

тогда и только тогда, когда

F=F(s).

При этом
V(s)=F(s)ds.

Доказательство. Пусть s(t) — движение. Вычислим
ddtH(dsdt,s(t))=ddtm2(dsdt)2+ddtV(s(t))==mdsdtd2sdt2+V(s(t))dsdt=[F(dsdt,s(t),t)+V(s(t))]dsdt.

Тождественный нуль получим тогда и только тогда, когда
[F(s˙,s,t)+V(s)]s˙0.

При s˙eq0 это значит, что
F(s˙,s,t)=V(s),

а при s˙=0 по непрерывности верно то же самое. Полученное выражение для F и доказывает георему.

Потенциальная энергия V определена с точностью до постоянной. То, что F=F(s), имеет такие следствия: решения уравнения Ньютона допускают
А) сдвиг по времени: если s(t) — движение, то и s(t+τ) тоже движение (свойство автономности);
Б) инверсию времени: если s(t) — движение, то и s(t) тоже движение.

Для каждого движения s(t) имеем H(s˙(t),s(t))=h, где константа h определяется по начальным условиям или задается из каких-либо других соображений. Поскольку ms˙2/20, при движении всегда выполняется неравенство V(s(t))h.

ОБЛАСТЬ ВОЗМОЖНОСТИ ДВИЖЕНИЯ:
Rh={s:V(s)h}

состоит, вообще говоря, из нескольких связных кусков (рис. 42); в случае, когда один из кусков есть замкнутый отрезок (справа на рис. 42), говорят о движении в потенциальной яме; предполагается, что внутри этого отрезка V(s)<h.

Как известно, важным моментом при построении графика функции V(s) является отыскание множества ее критических точек:
{s:V(s)=0}

Поскольку уравнение Ньютона у нас в силу теоремы имеет вид
ms¨=V(s),

видим, что критические точки потенциальной энергии имеют прозрачный динамический смысл — каждая из них есть положение равновесия: движение s(t)s возможно тогда и только тогда, когда V(s)=0. Энергия равновесия равна
h=V(s)

Это — соответствующее s критическое значение функции: При

изменении h область возможности движения Rh тоже меняется, а когда h проходит критическое значение h, то, вообще говоря, меняется число связных компонент у Mh.

Будем говорить, что точка si=s(ti) есть точка остановки (точка поворота) для движения s(t), если s˙(ti)=0, и при этом
V(si)eq0

Заметим, что тогда V(si)=h, т. е. мы выходим на границу Mh. Разложим s(t) в ряд Тейлора в окрестности ti :
s(t)=si+(dsdt)t=ti(tti)+(d2sdt2)t=ti(tti)22+O((tti)3),

и воспользуемся (3) с учетом (4):
s(t)=siV(si)m(tti)22+O((tti)3).

При достаточно малых tti изменение s(t) будет определяться вторым слагаемым. Таким образом, движение доходит до точки остановки (до границы Mh ) и поворачивает назад (рис. 43).

Движение s(t) однозначно определяется начальными условиями s0,s˙0. Сейчас мы уже знаем, что если s˙0=0, то движение либо вечно останется в точке s0 (при V(s0)=0 ), либо покинет эту точку (при V(s0)eq0 ) практически равноускоренно. Впредь будем считать s˙0eq0. Тогда ds/dt сохраняет знак в течение некоторого интервала времени, и из интеграла энергии в области V<h (строго меньше) получим
dsdt=±2m(hV(s)),

так что s=s(t) — монотонная функция и имеет обратную t= =t(s). Ее можно найти:
±ds(2/m)(hV(s))=dt,tt0=±s0sds2/m(hV(s)).

Чтобы получить s(t), нам надо проделать алгебраические действия, вычислить определенный интеграл и взять обратную функцию. Решение с помощью этих операций составляет
ИНТЕГРИРОВАНИЕ В КВАДРАТУРАХ
которое, как правило, неисполнимо в элементарных функциях.
Tеорема. Пусть движение s(t) с энергией h происходит в потенциальной яме [s2(h),s1(h)], причем si — точки остановки: V(si)eq0. Тогда s(t)

ПЕРИОДИЧЕСКОЕ ДВИЖЕНИЕ
Периодическое движение, т. е. s(t+τ)=s(t), где
τ(h)=2s1(h)s2(h)ds2/m(hV(s)).

Это движение попеременно достигает s1 и 32 .

Доказательство. Будем считать s˙0>0. Тогда в некотором ингервале времени dsdt>0, так что в (6) берем знак + . Ненриятность в том, что при ss1 подкоренное выражение стремится к бесконечности.

Лемма Адамара. Если χ(x) — гладкая функция, χ(0)=0, то χ(x)=xψ(x), причем ψ(0)=χ(0). В самом деле,
ψ(x)=01χ(xt)dtχ(x)=χ(x)χ(0)==0xχ(ξ)dξ=01χ(xt)d(xt)=χψ(x),

что и требовалось. В силу леммы
2m(hV(s))=(ss1)ψ(s),ψ(s1)=2mV(s1)eq0.

Следовательно,
tt0=s0s1ds|ss1||ψ(s)|,

причем ψ — ограниченная функция. Этот интеграл сходится, т. е. tt1 при ss1, и наоборот. Отсюда следует, что s(t) придет в сколь угодно малую окрестность s1, в то время как движение в некоторой конечной окрестности нами уже изучено: точка дойдет до s1 и повернет назад (рис. 43). Потом она дойдет до s2 и снова повернет назад. Через время
τ=s0s1s1s2+s2s0=2s1sz

точка снова будет в s0 со скоростью s˙(τ)>0. Из интеграла энергии s˙(τ)=s˙(0). В итоге у движений s(tτ),s(t) начальные условия совпадают, т. е. и сами они совпадают по теореме единственности решения. Доказательство.завершено.

Обратим внимание на точку минимума s¯, заведомо имеющуюся внутри потенциальной ямы. При hV(s¯) границы si(h) стягиваются, и формула для τ(h) не позволяет понять поведение τ.
Поэтому взамен (7) будет выведена

ФОРМУЛА ЛИНДШТЕДТА.
Допустим, что s¯=0 — точка невырожденного минимума:
V(0)=0,V(0)=0,V(0)=k>0.

Пусть l — какой-либо параметр размерности длины. Положим
V(0)=klγ,V(0)=kl2δ,

где γ,δ — безразмерные величины. Тогда при достаточно/малых h период колебаний
τ(h)=2πmk(1+5γ23δ24hkl2+O((hkl2)2))
(величина η=h/kl2 называется безразмерной энергией; мы придали формуле именно такой вид, ибо на практике говорить о «малости» имеет смысл только для безразмерных величин; к этому мы еще вернемся).

Доказательство. Величины m,l,k размерно независимы, так что их можно принять равными единице.

Лемма Морса. Существует замена переменной s=f(q) такая, что V(f(q))=q2/2.
Действительно, применим дважды лемму Адамара:
V(s)=sψ(s),ψ(0)=V(0):=0ψ(s)=s2φ(s)V(s)=s22φ(s),φ(0)=V(0)=1.

Осталось положить q(s)=sφ(s).
Неравенство V(s)h приобретает вид |q|V2h=a. Период
τ(h)=2s1(h)s2(h)ds2(hV(s))=2uaf(q)dq2hq2.

Положим q=2hsinξ. Тогда
τ(h)=2π2+π2f(2hsinξ)dξ.

Разложим f в ряд Тейлора:
f=q+B2q2+C6q3+D24q4+O(q5),f=1+Bq+C2q2+D6q3+O(q4).

Поэтому
τ(h)=2π2+π2(1+B2hsinξ+Chsin2ξ+D62h3sin3ξ++O(h2sin2ξ))dξ.

Интегралы от нечетных функций sinξ и sin3ξ равны нулю, и
τ(h)=2π2+π2(1+Chsin2ξ)dξ+O(h2)==2π(1+12Ch+0(h2)).

Осталось вычислить C. Для этого подставим разложение для s= =f(q) в разложение
V(s)=s22+γs36+δs424+O(s5).

Получим
q22=q22+[B2+γ6]q3+[δ24+B28+i2C26+3γB26]q˙4+O(q5),B=γ3,C=5γ23812.

Доказательство на этом закончено.
Условимся считать безразмерную величину ε малой, если величинами вида kε2 можно пренебречь при заданной точности вычислений. Например, если задана точность 102n и известно, что k не превосходит несколько десятков, то ε будет малой, если |ε|<10(n+1).

Из разложения f(q) видно, что величины q и s малы одновременно. Если мала безразмерная амплитуда колебаний q/l=2h/kl2, то безразмерной энергией η уже можно пренебречь, и период получается равным
τ=2πm¯k,

если же мала энергия колебаний, то
τ=2πmk(1+5γ23δ24hkl2).

Нам осталось рассмотреть

АСИМПТОТИЧЕСКИЕ ДВИЖЕНИЯ
Асимптотические движения, которые происходят в случае, когда одна из границ нетривиальной (s1eqs2 ) потенциальной ямы является не точкой остановки, а положением равновесия: V(s1)=0. Пусть s˙0>0. По лемме Адамара, примененной дважды, имеем
2m(hV(s))=(ss1)2φ(s),

причем φ(s1)eq0, если критическая точка невырождена, т. е. V(s1)eq0. Впрочем, это не обязательно. Видим, что
tt0=s0sds|ss1||Φ(s)|,
т. е. интеграл расходится. Это значит, что s(t)s1 при t. Поскольку время допускает инверсию, существует движение s(t)= =s(t) такое, что s(t)s1 при t. Такое движение выходит из сколь угодно малой окрестности точки s1, что указывает на неустойчивость имеющегося равновесия. Напротив, в окрестности точки минимума движение носит колебательный характер, т. е. устойчиво. Эти соображения легко довести до строгих доказательств.
Движения в Mh типа (,s3 ) просто уходят в бесконечность.

1
Оглавление
email@scask.ru