Простейшими моделями в динамике являются такие, в которых дифференциальные уравнения движения получаются линейными. Решение линейных уравнений в принципе тривиально. Сами модели, однако, не тривиальны в том смысле, что позволяют уловить ряд важных эффектов в поведении механических систем.

Дальнейшее изложение будет прямым перечислением моделей (разумеется, без какой-либо полноты списка), причем
1) каждую модель мы сопроводим наглядным комментарием, и пусть подспорьем будут представления, сохранившиеся от школьного курса физики (например, закон упругости Гу்ка, который здесь не обсуждаем, но используем);
2) следуя традиции, буквенные параметры условимся считать положительными, если не оговорено что-либо иное;
3) всегда начальное мгновение $t_0=0$;
4) для простоты сначала будем рассматривать движение по прямой и по плоскости.
ДВИЖЕНИЕ ПО ИНЕРЦИИ:
$$m\ddot{x}=0\Rightarrow x=x_0+{\dot{x}}_{0}t.$$

ПАДЕНИЕ:
$$m\ddot{z}=-mg\Rightarrow z=z_0+{\dot{z}}_{0}t-g{t}^2/2.$$

ДВИЖЕНИЕ В СРЕДЕ С ВЯЗКИМ ТРЕНИЕМ:
$$m\ddot{x}=-c\dot{x}\Rightarrow x=x_0-\frac{m}{c}{\dot{x}}_0{e}^{-\frac{c}{m}t}.$$

Точка либо покоится, либо стремится к покою при $t\to \mathrm{\infty }$. ДВИЖЕНИЕ В ПОЛЕ ТЯЖЕСТИ ПРИ НАЛИЧИИ ВЯЗКОГО ТРЕНИЯ:
$$m\ddot{z}=-mg-c\dot{z}.$$

Сейчас самое время проиллюстрировать применение метода безразмерных комбинаций. Параметры задачи имеют размерности
$$[m]=M,[g]=\mathrm{L}/{\mathrm{T}}^2,[c]=M/\mathrm{T},$$

которые, конечно, независимы. Положим $m=g=c=1$. Тогда
$$\begin{array}{l}\frac{d}{dt}\dot{z}=-1-\dot{z},\\ \dot{z}=-1+{\dot{z}}_0{e}^{-t},\\ z=z_0-t-{\dot{z}}_0{e}^{-t}.\end{array}$$

Вместо $t,z\left(z_0\right),{\dot{z}}_0$ подставим безразмерные комбинации
$$\frac{ct}{m},\frac{z{c}^2}{g{m}^2},\frac{{\dot{z}}_{0}m}{\mathrm{g}cc}.$$

Получим общее решение
$$z=z_0-\frac{mg}{c}t-\frac{m}{c}{\dot{z}}_0{e}^{-\frac{c}{m}t}.$$

Движение всегда стремится к равномерному падению со скоростью $\mathrm{mg}/\mathrm{c}$ (можно предложить в качестве упражнения доказать это, не решая уравнения движения).

ДВИЖЕНИЕ ПОД ДЕИСТВИЕМ УПРУГОИ СИЛЫ (ГАРМОНИЧЕСКИЙ ОСЦИЛЛЯТОР):
$$m\ddot{x}=-kx.$$

Получаются гармонические колебания (осцилляции):
$$x=x_0\cos \omega t+\frac{{\dot{x}}_0}{\omega }\sin \omega t=A\cos (\omega t+.\phi ).$$

Здесь частота $\omega$, период колебаний $T$, амплитуда $A$ и начальная фаза ф даются формулами:
$$\omega =\sqrt{\frac{k}{m}},T=\frac{2\pi }{\omega };$$

$$A=\sqrt{x_0^2+\frac{{\dot{x}}_0^2}{{\omega }^2}},\phi =\mathrm{arctg}\frac{{\dot{x}}_0}{\omega x_0}.$$

Важно, что период не зависит от амплитуды.
ОСЦИЛЛЯТОР В ПОЛЕ ТЯЖЕСТИ:
$$m\ddot{z}=-kz+mg.$$

Те же колебания, но со смещением: равновесие $z_{\ast }=mg/k$. ОСЦИЛЛЯТОР С ВЯЗКИМ ТРЕНИЕМ:
$$m\ddot{x}=-kx-c\dot{x}.$$

Назовем коэффициентом затухания число $\chi =c/2m$. Если $\chi <\omega$, то происходят затухающие колебания (рис. $68,a$ ):
$$x=e^{-xt}(C_1\cos \mathrm{\Omega }t+C_2\sin \mathrm{\Omega }t),\mathrm{\Omega }=\sqrt{{\omega }^2-{\chi }^2}.$$

Если $\chi >\omega$, то наблюдается апериодический режим (рис. 68,б).
ОСЦИЛЛЯТОР С ПЕРИОДИЧЕСКИМ ВОЗБУЖДЕНИЕМ:
$$m\ddot{x}=-kx+\mathrm{\Phi }\cos vt.$$

Для выкладок (их мы опустим) удобно положить равными единице независимые параметры $m,k$, Ф. Результат: к гармоническим колебаниям $A\cos (\omega t+\phi )$ прибавляются частные решения
$$\begin{array}{c}\frac{\mathrm{\Phi }}{k-m{v}^2}\cos vt(veq\omega ),\\ \frac{\mathrm{\Phi }\omega t}{2k}\sin \omega t(v=\omega ),\end{array}$$

так что
A) при $v\approx \omega$ возникают биения — колебания с частотой ( $\omega +$ $+v)/2$ и амплитудой, меняющейся (рис. $69,a$ ) с периодом
$$\tau =\frac{4\pi }{|\omega -v|},$$

максимум которой стремится к бесконечности при $v\to \omega$;
Б) если $v=\omega$, то получается раскачивание — колебания с амплитудой, растущей примерно линейно (рис. 69,б). Оба этих явления совокупно представляют собой так называемый
резонанс
(первая половина биения поначалу неотличима от раскачивания). ОСЦИЛЛЯТОР С ВЯЗКИМ ТРЕНИЕМ И ПЕРИОДИЧЕСКИМ ВОЗБУЖДЕНИЕМ:
$$m\ddot{x}=-kx-c\dot{x}+\mathrm{\Phi }\cos vt.$$

Этой важной задаче уделяется много внимания в курсах теории колебаний (причем в качестве периодического слагаемого в правой части берется, конечно, не только простейший косинус). Мы же ограничимся только указанием на то, что все движения стре-

мятся к вынужденному колебанию
$$x=\frac{\mathrm{\Phi }}{mv\overline{{({\omega }^2-v^2)}^2+4{\chi }^2{v}^2}}\cos (vt+\mathrm{arctg}\frac{2\chi v}{({\omega }^2-v^2)}).$$

ДВИЖЕНИЕ В ВЕРТИКАЛЬНОИ ПЛОСКОСТИ В ОДНОРОДНОМ ПОЛЕ ТЯЖЕСТИ:
$$\mathbf{F}=-m_y\Rightarrow {\mathbf{x}}_y\Rightarrow \{\begin{array}{l}m\ddot{x}=0\\ m\ddot{y}=—mg\end{array}\Rightarrow \{\begin{array}{l}x=x_0+{\dot{x}}_{0}t\\ y=y_0+{\dot{y}}_{0}t-g{t}^2/2\end{array}$$

При ${\dot{x}}_{0}eq0$ траектории будут параболами.
ПЛОСКИЙ ГАРМОНИЧЕСКИЙ ОСЦИЛЛЯТОР:

в векторном виде сила имеет вид
$$\mathbf{F}=-k\mathbf{r}=-k(x{\mathbf{e}}_x+y{\mathbf{e}}_y).$$

Поэтому уравнения движения суть
$$\{\begin{array}{l}m\ddot{x}=-kx\\ m\ddot{y}=-ky\end{array}$$

Как и в предыдущей задаче, в этой имеет место
разделение переменных,
т. е. получаются независимые уравнения, задающие изменение каждой из координат со временем. Общее решение
$$\begin{array}{l}x=x_0\cos \omega t+\frac{{\dot{x}}_0}{\omega }\sin \omega t,\\ y=y_0\cos \omega t+\frac{{\dot{y}}_0}{\omega }\sin \omega t\end{array}$$

можно представить в специфическом для этой задачи виде:
$$\left(\begin{array}{l}x\\ y\end{array}\right)=\left(\begin{array}{ll}{x}_0& {\dot{x}}_0\\ y_0& {\dot{y}}_0\end{array}\right)\left(\begin{array}{l}\cos \omega t\\ \frac{1}{\omega }\sin \omega t\end{array}\right).$$

Если в этой формуле определитель матрицы отличен от нуля начальная скорость неколлинеарна начальному радиусу-вектору, то, применив обратную матрицу (это не обязательно делать в явном виде), увидим, что $\cos \omega t$ и $\sin \omega t$ суть линейные функции $x$ и $y$ с коэффициентами, зависящими от начальных условий. Следовательно, тождество ${\cos }^2\omega t+-{\sin }^2\omega t\equiv 1$ даст нам уравнение траектории, которая получится эллипсом (сумма квадратов линейных форм есть положительно определенная квадратичная форма). Легко понять, что центр этого эллипса находится в начале координат.
ПЛОСКИИ ОСЦИЛЛЯТОР С ВЯЗКИМ ТРЕНИЕМ

По сравнению с предыдущей задачей добавляется сила
$${\mathbf{F}}_{\mathrm{Tp}}=-c\mathbf{v}=-c(\dot{x}{\mathrm{e}}_x+\dot{y}{\mathrm{e}}_y),$$

так что в уравнениях движения переменные снова разделяются. Задача свелась к соответствующей одномерной.

Здесь, однако, уместно сделать качественный комментарий: мы видим, что если на колебательное движение наложить вязкое трение, то вместо ограниченных колебаний будем иметь асимптотическое стремление к нулю всех решений. Другими словами, устойчивая линейная система превращается в асиптотически устойчивую. Заметим (но это выходит за рамки настоящих лекций), что сделанное частное наблюдение может быть расширено до одной общей теоремы из теории устойчивости.

ДВИЖЕНИЕ ЗАРЯДА В ОДНОРОДНОМ ЭЛЕКТРИЧЕСКОМ ПОЛЕ

такое же, как движение массы в однородном поле тяжести.

ДВИЖЕНИЕ ЗАРЯДА В ОДНОРОДНОМ МАГНИТНОМ ПолЕ

Мы хотим показать силу, которая, как и вязкое трение, зависит только от скорости, но зависит совершенно иначе. Это — сила Лоренца. Представим ее в примитивном виде:
$$\mathbf{F}=[\mathbf{v}\times \mathbf{C}],$$

где $\mathbf{C}$ — некоторый постоянный вектор, так что сила перпендикулярна скорости. Отсюда вытекает, что движение происходит со скоростью $\mathbf{v}$, неизменной по модулю: $|\mathbf{v}|=$ const. В самом деле, кинетическая энергия точки $m{\mathbf{v}}^2/2$ постоянна:
$$\frac{d}{dt}\frac{m{\mathbf{v}}^2}{2}=(m\frac{d\mathbf{v}}{dt},\mathbf{v})=([\mathbf{v}\times \mathbf{C}],\mathbf{v})\equiv 0,$$

что и требовалось. Скорость сохраняет абсолютную величину, но все время меняет направление. Выпишем уравнения движения, считая без уменьшения общности, что $\mathbf{C}={\mathrm{Ce}}_y$.
$$\mathbf{F}=\left|\begin{array}{lll}{\mathrm{e}}_x& \dot{x}& 0\\ {\mathrm{e}}_y& \dot{y}& C\\ {\mathrm{e}}_z& \dot{z}& 0\end{array}\right|=C\dot{x}{\mathrm{e}}_z-C\dot{z}{\mathrm{e}}_x\Rightarrow \{\begin{array}{l}m\ddot{x}=-C\dot{z}\\ m\ddot{y}=0\\ \ddot{z}=C\dot{x}\end{array}$$

Видим, что переменная $y$ отделилась, и $y$ меняется равномерно. В частности, возможно $\dot{y}=0,y=$ const. Поэтому дальнейшее исследование достаточно провести для движений в плоскости $Oxz$, происходящих независимо. Система первых двух уравнений:
$$\frac{d\dot{x}}{dt}=-\frac{C}{m}\dot{z},\frac{d\dot{z}}{dt}=+\frac{C}{m}\dot{x}$$

эквивалентна уравнению второго порядка:
$$\frac{d^2\dot{x}}{dt}=-\frac{C^2}{m^2}\dot{x},$$

которое мы уже умеем решать:
$$\begin{array}{l}\dot{x}=C_1\cos \frac{C}{m}t+C_2\sin \frac{C}{m}t,\\ \dot{z}=C_1\sin \frac{C}{m}t-C_2\cos \frac{C}{m}t,\end{array}$$
т. е. вектор $\mathbf{v}$ равномерно вращается. Отсюда (можно просто проинтегрировать по $t$ последние равенства) точка $m$ движется равномерно по окружности радиуса $mv/c$.

Если бы никакой силы не было, то мы имели бы движение по прямой с постоянной скоростью. Наложение магнитного поля превращает прямые траектории в круговые, как бы закручивает траектории в одну сторону (здесь — против часовой стрелки).
При $\dot{y}eq0$ траектории получаются винтовыми линиями.

ДВИЖЕНИЕ В ПОЛЕ ТЯЖЕСТИ (ОДНОРОДНОМ ЭЛЕКТРИЧЕСКОМ ПОЛЕ) И ОДНОРОДНОМ МАГНИТНОМ ПОЛЕ
Имеется в виду сила
$$\mathbf{F}=-mg{\mathbf{e}}_z+C[\mathbf{v}\times {\mathbf{e}}_y].$$

Угадать, во что превратятся параболические траектории после наложения магнитного поля, «из общих соображений» мало кому удается. Для краткости формул положим размерно независимые параметры равными единице. Уравнению движения можно придать вид:
$$\frac{d\mathbf{v}}{dt}={\mathbf{e}}_z+[\mathbf{v}\times {\mathbf{e}}_y].$$

Это — неоднородное линейное уравнение. К общему решению из предыдущей задачи надо прибавить частное решение. Легко видеть, что подходит
$$\mathbf{v}\equiv {\mathbf{e}}_x.$$

Это значит, что конец вектора скорости движется по окружности, центр которой смещен вдоль оси $Ox$ вправо. Движение можно представить как вращение по окружности, равномерно двигающейся в направлении ${\mathbf{e}}_x$ (так называемый дрейф). Точка в конечном счете не падает. Возможные траектории изображены на рис. 63.

ДВИЖЕНИЯ ПОД ДЕЙСТВИЕМ УПРУГОЙ СИЛЫ В ОДНОРОДНОМ МАГНИТНОМ ПОЛЕ ПРИ ОТСУТСТВИИ И ПРИ НАЛИЧИИ ВЯЗКОГО ТРЕНИЯ

Эти две интересные и поучительные задачи мы рассмотрим позднее, в четвертой теме (сочетание столь различных. воздействий выглядит искусственно, но мы прибегаем к нему лишь для того, чтобы использовать уже знакомые нам физические представления).