Простейшими моделями в динамике являются такие, в которых дифференциальные уравнения движения получаются линейными. Решение линейных уравнений в принципе тривиально. Сами модели, однако, не тривиальны в том смысле, что позволяют уловить ряд важных эффектов в поведении механических систем.

Дальнейшее изложение будет прямым перечислением моделей (разумеется, без какой-либо полноты списка), причем
1) каждую модель мы сопроводим наглядным комментарием, и пусть подспорьем будут представления, сохранившиеся от школьного курса физики (например, закон упругости Гу்ка, который здесь не обсуждаем, но используем);
2) следуя традиции, буквенные параметры условимся считать положительными, если не оговорено что-либо иное;
3) всегда начальное мгновение $t_{0}=0$;
4) для простоты сначала будем рассматривать движение по прямой и по плоскости.
ДВИЖЕНИЕ ПО ИНЕРЦИИ:
\[
m \ddot{x}=0 \Rightarrow x=x_{0}+\dot{x}_{0} t .
\]

ПАДЕНИЕ:
\[
m \ddot{z}=-m g \Rightarrow z=z_{0}+\dot{z}_{0} t-g t^{2} / 2 .
\]

ДВИЖЕНИЕ В СРЕДЕ С ВЯЗКИМ ТРЕНИЕМ:
\[
m \ddot{x}=-c \dot{x} \Rightarrow x=x_{0}-\frac{m}{c} \dot{x}_{0} e^{-\frac{c}{m} t} .
\]

Точка либо покоится, либо стремится к покою при $t \rightarrow \infty$. ДВИЖЕНИЕ В ПОЛЕ ТЯЖЕСТИ ПРИ НАЛИЧИИ ВЯЗКОГО ТРЕНИЯ:
\[
m \ddot{z}=-m g-c \dot{z} .
\]

Сейчас самое время проиллюстрировать применение метода безразмерных комбинаций. Параметры задачи имеют размерности
\[
[m]=M,[g]=\mathrm{L} / \mathrm{T}^{2},[c]=M / \mathrm{T},
\]

которые, конечно, независимы. Положим $m=g=c=1$. Тогда
\[
\begin{array}{l}
\frac{d}{d t} \dot{z}=-1-\dot{z}, \\
\dot{z}=-1+\dot{z}_{0} e^{-t}, \\
z=z_{0}-t-\dot{z}_{0} e^{-t} .
\end{array}
\]

Вместо $t, z\left(z_{0}\right), \dot{z}_{0}$ подставим безразмерные комбинации
\[
\frac{c t}{m}, \frac{z c^{2}}{g m^{2}}, \frac{\dot{z}_{0} m}{\mathrm{~g} c c} .
\]

Получим общее решение
\[
z=z_{0}-\frac{m g}{c} t-\frac{m}{c} \dot{z}_{0} e^{-\frac{c}{m} t} .
\]

Движение всегда стремится к равномерному падению со скоростью $\mathrm{mg} / \mathrm{c}$ (можно предложить в качестве упражнения доказать это, не решая уравнения движения).

ДВИЖЕНИЕ ПОД ДЕИСТВИЕМ УПРУГОИ СИЛЫ (ГАРМОНИЧЕСКИЙ ОСЦИЛЛЯТОР):
\[
m \ddot{x}=-k x .
\]

Получаются гармонические колебания (осцилляции):
\[
x=x_{0} \cos \omega t+\frac{\dot{x}_{0}}{\omega} \sin \omega t=A \cos (\omega t+. \varphi) .
\]

Здесь частота $\omega$, период колебаний $T$, амплитуда $A$ и начальная фаза ф даются формулами:
\[
\omega=\sqrt{\frac{k}{m}}, \quad T=\frac{2 \pi}{\omega} ;
\]

\[
A=\sqrt{x_{0}^{2}+\frac{\dot{x}_{0}^{2}}{\omega^{2}}}, \quad \varphi=\operatorname{arctg} \frac{\dot{x}_{0}}{\omega x_{0}} .
\]

Важно, что период не зависит от амплитуды.
ОСЦИЛЛЯТОР В ПОЛЕ ТЯЖЕСТИ:
\[
m \ddot{z}=-k z+m g .
\]

Те же колебания, но со смещением: равновесие $z_{*}=m g / k$. ОСЦИЛЛЯТОР С ВЯЗКИМ ТРЕНИЕМ:
\[
m \ddot{x}=-k x-c \dot{x} .
\]

Назовем коэффициентом затухания число $\chi=c / 2 m$. Если $\chi<\omega$, то происходят затухающие колебания (рис. $68, a$ ):
\[
x=e^{-x t}\left(C_{1} \cos \Omega t+C_{2} \sin \Omega t\right), \Omega=\sqrt{\omega^{2}-\chi^{2}} .
\]

Если $\chi>\omega$, то наблюдается апериодический режим (рис. 68,б).
ОСЦИЛЛЯТОР С ПЕРИОДИЧЕСКИМ ВОЗБУЖДЕНИЕМ:
\[
m \ddot{x}=-k x+\Phi \cos v t .
\]

Для выкладок (их мы опустим) удобно положить равными единице независимые параметры $m, k$, Ф. Результат: к гармоническим колебаниям $A \cos (\omega t+\varphi)$ прибавляются частные решения
\[
\begin{array}{c}
\frac{\Phi}{k-m v^{2}} \cos v t \quad(v
eq \omega), \\
\frac{\Phi \omega t}{2 k} \sin \omega t \quad(v=\omega),
\end{array}
\]

так что
A) при $v \approx \omega$ возникают биения – колебания с частотой ( $\omega+$ $+v) / 2$ и амплитудой, меняющейся (рис. $69, a$ ) с периодом
\[
\tau=\frac{4 \pi}{|\omega-v|},
\]

максимум которой стремится к бесконечности при $v \rightarrow \omega$;
Б) если $v=\omega$, то получается раскачивание – колебания с амплитудой, растущей примерно линейно (рис. 69,б). Оба этих явления совокупно представляют собой так называемый
резонанс
(первая половина биения поначалу неотличима от раскачивания). ОСЦИЛЛЯТОР С ВЯЗКИМ ТРЕНИЕМ И ПЕРИОДИЧЕСКИМ ВОЗБУЖДЕНИЕМ:
\[
m \ddot{x}=-k x-c \dot{x}+\Phi \cos v t .
\]

Этой важной задаче уделяется много внимания в курсах теории колебаний (причем в качестве периодического слагаемого в правой части берется, конечно, не только простейший косинус). Мы же ограничимся только указанием на то, что все движения стре-

мятся к вынужденному колебанию
\[
x=\frac{\Phi}{m v \overline{\left(\omega^{2}-v^{2}\right)^{2}+4 \chi^{2} v^{2}}} \cos \left(v t+\operatorname{arctg} \frac{2 \chi v}{\left(\omega^{2}-v^{2}\right)}\right) .
\]

ДВИЖЕНИЕ В ВЕРТИКАЛЬНОИ ПЛОСКОСТИ В ОДНОРОДНОМ ПОЛЕ ТЯЖЕСТИ:
\[
\mathbf{F}=-m_{y} \Rightarrow \mathbf{x}_{y} \Rightarrow\left\{\begin{array} { l }
{ m \ddot { x } = 0 } \\
{ m \ddot { y } = – m g }
\end{array} \Rightarrow \left\{\begin{array}{l}
x=x_{0}+\dot{x}_{0} t \\
y=y_{0}+\dot{y}_{0} t-g t^{2} / 2
\end{array}\right.\right.
\]

При $\dot{x}_{0}
eq 0$ траектории будут параболами.
ПЛОСКИЙ ГАРМОНИЧЕСКИЙ ОСЦИЛЛЯТОР:

в векторном виде сила имеет вид
\[
\mathbf{F}=-k \mathbf{r}=-k\left(x \mathbf{e}_{x}+y \mathbf{e}_{y}\right) .
\]

Поэтому уравнения движения суть
\[
\left\{\begin{array}{l}
m \ddot{x}=-k x \\
m \ddot{y}=-k y
\end{array}\right.
\]

Как и в предыдущей задаче, в этой имеет место
разделение переменных,
т. е. получаются независимые уравнения, задающие изменение каждой из координат со временем. Общее решение
\[
\begin{array}{l}
x=x_{0} \cos \omega t+\frac{\dot{x}_{0}}{\omega} \sin \omega t, \\
y=y_{0} \cos \omega t+\frac{\dot{y}_{0}}{\omega} \sin \omega t
\end{array}
\]

можно представить в специфическом для этой задачи виде:
\[
\left(\begin{array}{l}
x \\
y
\end{array}\right)=\left(\begin{array}{ll}
x_{0} & \dot{x}_{0} \\
y_{0} & \dot{y}_{0}
\end{array}\right)\left(\begin{array}{l}
\cos \omega t \\
\frac{1}{\omega} \sin \omega t
\end{array}\right) .
\]

Если в этой формуле определитель матрицы отличен от нуля начальная скорость неколлинеарна начальному радиусу-вектору, то, применив обратную матрицу (это не обязательно делать в явном виде), увидим, что $\cos \omega t$ и $\sin \omega t$ суть линейные функции $x$ и $y$ с коэффициентами, зависящими от начальных условий. Следовательно, тождество $\cos ^{2} \omega t+-\sin ^{2} \omega t \equiv 1$ даст нам уравнение траектории, которая получится эллипсом (сумма квадратов линейных форм есть положительно определенная квадратичная форма). Легко понять, что центр этого эллипса находится в начале координат.
ПЛОСКИИ ОСЦИЛЛЯТОР С ВЯЗКИМ ТРЕНИЕМ

По сравнению с предыдущей задачей добавляется сила
\[
\mathbf{F}_{\mathrm{Tp}}=-c \mathbf{v}=-c\left(\dot{x} \mathrm{e}_{x}+\dot{y} \mathrm{e}_{y}\right),
\]

так что в уравнениях движения переменные снова разделяются. Задача свелась к соответствующей одномерной.

Здесь, однако, уместно сделать качественный комментарий: мы видим, что если на колебательное движение наложить вязкое трение, то вместо ограниченных колебаний будем иметь асимптотическое стремление к нулю всех решений. Другими словами, устойчивая линейная система превращается в асиптотически устойчивую. Заметим (но это выходит за рамки настоящих лекций), что сделанное частное наблюдение может быть расширено до одной общей теоремы из теории устойчивости.

ДВИЖЕНИЕ ЗАРЯДА В ОДНОРОДНОМ ЭЛЕКТРИЧЕСКОМ ПОЛЕ

такое же, как движение массы в однородном поле тяжести.

ДВИЖЕНИЕ ЗАРЯДА В ОДНОРОДНОМ МАГНИТНОМ ПолЕ

Мы хотим показать силу, которая, как и вязкое трение, зависит только от скорости, но зависит совершенно иначе. Это – сила Лоренца. Представим ее в примитивном виде:
\[
\mathbf{F}=[\mathbf{v} \times \mathbf{C}],
\]

где $\mathbf{C}$ – некоторый постоянный вектор, так что сила перпендикулярна скорости. Отсюда вытекает, что движение происходит со скоростью $\mathbf{v}$, неизменной по модулю: $|\mathbf{v}|=$ const. В самом деле, кинетическая энергия точки $m \mathbf{v}^{2} / 2$ постоянна:
\[
\frac{d}{d t} \frac{m \mathbf{v}^{2}}{2}=\left(m \frac{d \mathbf{v}}{d t}, \mathbf{v}\right)=([\mathbf{v} \times \mathbf{C}], \mathbf{v}) \equiv 0,
\]

что и требовалось. Скорость сохраняет абсолютную величину, но все время меняет направление. Выпишем уравнения движения, считая без уменьшения общности, что $\mathbf{C}=\mathrm{Ce}_{y}$.
\[
\mathbf{F}=\left|\begin{array}{lll}
\mathrm{e}_{x} & \dot{x} & 0 \\
\mathrm{e}_{y} & \dot{y} & C \\
\mathrm{e}_{z} & \dot{z} & 0
\end{array}\right|=C \dot{x} \mathrm{e}_{z}-C \dot{z} \mathrm{e}_{x} \Rightarrow\left\{\begin{array}{l}
m \ddot{x}=-C \dot{z} \\
m \ddot{y}=0 \\
\ddot{z}=C \dot{x}
\end{array}\right.
\]

Видим, что переменная $y$ отделилась, и $y$ меняется равномерно. В частности, возможно $\dot{y}=0, y=$ const. Поэтому дальнейшее исследование достаточно провести для движений в плоскости $O x z$, происходящих независимо. Система первых двух уравнений:
\[
\frac{d \dot{x}}{d t}=-\frac{C}{m} \dot{z}, \quad \frac{d \dot{z}}{d t}=+\frac{C}{m} \dot{x}
\]

эквивалентна уравнению второго порядка:
\[
\frac{d^{2} \dot{x}}{d t}=-\frac{C^{2}}{m^{2}} \dot{x},
\]

которое мы уже умеем решать:
\[
\begin{array}{l}
\dot{x}=C_{1} \cos \frac{C}{m} t+C_{2} \sin \frac{C}{m} t, \\
\dot{z}=C_{1} \sin \frac{C}{m} t-C_{2} \cos \frac{C}{m} t,
\end{array}
\]
т. е. вектор $\mathbf{v}$ равномерно вращается. Отсюда (можно просто проинтегрировать по $t$ последние равенства) точка $m$ движется равномерно по окружности радиуса $m v / c$.

Если бы никакой силы не было, то мы имели бы движение по прямой с постоянной скоростью. Наложение магнитного поля превращает прямые траектории в круговые, как бы закручивает траектории в одну сторону (здесь – против часовой стрелки).
При $\dot{y}
eq 0$ траектории получаются винтовыми линиями.

ДВИЖЕНИЕ В ПОЛЕ ТЯЖЕСТИ (ОДНОРОДНОМ ЭЛЕКТРИЧЕСКОМ ПОЛЕ) И ОДНОРОДНОМ МАГНИТНОМ ПОЛЕ
Имеется в виду сила
\[
\mathbf{F}=-m g \mathbf{e}_{z}+C\left[\mathbf{v} \times \mathbf{e}_{y}\right] .
\]

Угадать, во что превратятся параболические траектории после наложения магнитного поля, «из общих соображений» мало кому удается. Для краткости формул положим размерно независимые параметры равными единице. Уравнению движения можно придать вид:
\[
\frac{d \mathbf{v}}{d t}=\mathbf{e}_{z}+\left[\mathbf{v} \times \mathbf{e}_{y}\right] .
\]

Это – неоднородное линейное уравнение. К общему решению из предыдущей задачи надо прибавить частное решение. Легко видеть, что подходит
\[
\mathbf{v} \equiv \mathbf{e}_{x} .
\]

Это значит, что конец вектора скорости движется по окружности, центр которой смещен вдоль оси $O x$ вправо. Движение можно представить как вращение по окружности, равномерно двигающейся в направлении $\mathbf{e}_{x}$ (так называемый дрейф). Точка в конечном счете не падает. Возможные траектории изображены на рис. 63.

ДВИЖЕНИЯ ПОД ДЕЙСТВИЕМ УПРУГОЙ СИЛЫ В ОДНОРОДНОМ МАГНИТНОМ ПОЛЕ ПРИ ОТСУТСТВИИ И ПРИ НАЛИЧИИ ВЯЗКОГО ТРЕНИЯ

Эти две интересные и поучительные задачи мы рассмотрим позднее, в четвертой теме (сочетание столь различных. воздействий выглядит искусственно, но мы прибегаем к нему лишь для того, чтобы использовать уже знакомые нам физические представления).