В трехмерном пространстве $\mathbf{R}^{3}$ находятся $N$ точек с радиусами-векторами $\mathbf{r}_{i}$ и массами $m_{i}$; на них действуют силы $\mathbf{F}_{i}\left(\mathbf{r}_{1}, \ldots\right.$ „., $\left.\mathbf{r}_{N}, \mathbf{r}_{1}, \ldots, \mathbf{r}_{N}, t\right)$ : говорят, что дана система свободных точек. Набор вектор-функций $\left(\mathbf{r}_{1}(t), \ldots, \mathbf{r}_{N}(t)\right)$ называется движением системы, если удовлетворяет системе уравнений Ньютона:
\[
m_{i} \overrightarrow{\mathbf{r}}_{i}=\mathbf{F}_{i}, i=1, \ldots, N .
\]

Сказанное в начале $\S 1$ повторяется с очевидными изменениями.
ОБЩИЕ ТЕОРЕМЫ
A. Точка $S$ с радиусом-вектором:
\[
\mathbf{s}=\frac{\Sigma m_{i} \mathbf{r}_{i}}{\Sigma m_{i}}
\]

называется центром масс (барицентром, центром инерции) системы. Векторная величина
\[
\mathbf{P}=\sum_{i} m_{i} \dot{\mathbf{r}}_{i}
\]

называется импульсом системы (или количеством движения).
Tеорема 1 (об изменении импульса). Вдоль движений системы
\[
\frac{d \mathbf{P}}{d t}=\sum_{i} \mathbf{F}_{i} ;
\]

иначе говоря, центр масс движется как одна материальная точка массы $M=\Sigma m_{i}$ под действием формальной суммы всех сил:
\[
\ddot{M \mathbf{s}}=\sum_{i} \mathbf{F}_{i} .
\]

Эта сумма, правда, может зависеть от состояния всей системы, так что правую часть здесь лучше всего рассматривать как сложную функцию времени, вычисленную вдоль конкретного движения.
Б. Величина
\[
\boldsymbol{\Lambda}_{o}=\sum_{i} m_{i}\left[\mathbf{r}_{i} \times \dot{\mathbf{r}}_{i}\right]
\]

называется кинетическим моментом, или моментом количеств: движения системы. Величина
\[
\mathbf{G}_{o}=\sum_{i}\left[\mathbf{r}_{i} \times \mathbf{F}_{i}\right]
\]

называется суммарным моментом сил.
Теорема 2 (об изменении момента). Вдоль движений
\[
\frac{d \mathbf{\Lambda}_{O}}{d t}=\mathbf{G}_{o}
\]
(скорость изменения момента импульсов равна моменту сил).
АБ. Пусть $\mathbf{r}_{i}=\rho_{i}+\mathbf{s}$. Вектор $\rho_{i}$ задает положение $i$-й точки в: подвижной системе координат, связанной с центром масс и движущейся поступательно относительно неподвижной (так называемая система осей Кенига). Величина $\boldsymbol{\Lambda}_{S}=\sum_{i} m_{i}\left[\boldsymbol{p}_{i} \times \dot{\rho}_{i}\right]$ называется моментом количеств движения в осях Қенига, или собственным кинетическим моментом. Величина $\mathbf{G}_{S}=\sum_{i}\left[\boldsymbol{\rho}_{i} \times \mathbf{F}_{i}\right]$ на-
зывается собственным моментом сил.
Tеорем а $3=1+2$ (о собственном кинетическом моменте). Всегда
\[
\boldsymbol{\Lambda}_{O}=M[\mathbf{s} \times \dot{\mathbf{s}}]+\boldsymbol{\Lambda}_{S} .
\]

Вдоль движений системь
\[
\frac{d \mathbf{\Lambda}_{s}}{d t}=\mathbf{G}_{s} .
\]

Доказательство. По определению
\[
\begin{array}{c}
\boldsymbol{\Lambda}_{O}=\boldsymbol{\Sigma} m_{i}\left[\left(\mathbf{s}+\boldsymbol{\rho}_{i}\right) \times\left(\dot{\mathbf{s}}+\dot{\boldsymbol{\rho}_{i}}\right)\right]=\left(\boldsymbol{\Sigma} m_{i}\right)[\mathbf{s} \times \dot{\mathbf{s}}]+ \\
\quad+\left[\mathbf{s} \times \mathbf{\Sigma} m_{i} \dot{\boldsymbol{\rho}}_{i}\right]+\left[\boldsymbol{\Sigma} m_{i} \boldsymbol{\rho}_{i} \times \dot{\mathbf{s}}\right]+\mathbf{\Sigma} m_{i}\left[\boldsymbol{\rho}_{i} \times \dot{\rho_{i}}\right] .
\end{array}
\]

Внутренние слагаемые равны нулю в силу того, что
\[
\Sigma m_{i} \rho_{i} \equiv 0, \Sigma m_{i} \dot{\rho}_{i} \equiv 0 .
\]

Далее, учитывая, что
\[
\ddot{M \mathbf{s}}=\mathbf{\Sigma} \mathbf{F}_{i} \Rightarrow \frac{d}{d t} M[\mathbf{s} \times \dot{\mathbf{s}}]=\left[\mathbf{s} \times \mathbf{\Sigma} \mathbf{F}_{i}\right],
\]

имеем
\[
\frac{d \mathbf{\Lambda}_{s}}{d t}=\mathbf{\Sigma}\left[\mathbf{r}_{i} \times \mathbf{F}_{i}\right]-\left[\mathbf{s} \times \mathbf{\Sigma} \mathbf{F}_{i}=\Sigma\left[\left(\mathbf{r}_{i}-\mathbf{s}\right) \times \mathbf{F}_{i}\right],\right.
\]

что и требовалось.
В. Скалярная величина
\[
T=\frac{1}{2} \sum_{i} m_{i} \dot{\mathbf{r}}_{i}^{2}=\frac{1}{2} \sum_{i} m_{i}\left(\dot{r}_{i}, \dot{r}_{i}\right)
\]

называется кинетической энергией системы. Величина
\[
T_{S}=\frac{1}{2} \sum_{i} m_{i} \dot{\rho}_{i}^{2}
\]

называется собственной кинетической энергией.
Теорем а 4 (о вычислении и изменении кинетической энергии). Всегда
\[
T=\frac{M}{2} \dot{\mathbf{s}}^{2}+T_{S} .
\]

Вдоль движений
\[
\begin{array}{l}
\frac{d T}{d t}=\sum_{i}\left(\mathbf{F}_{i}, \dot{\mathbf{r}}_{i}\right) . \\
\frac{d T_{S}}{d t}=\sum_{i}\left(\mathbf{F}_{i}, \dot{\rho}_{i}\right) .
\end{array}
\]

Доказывается это по той же схеме, что и предыдущая теорема.
АБВ. Интегралом системы называется функция состояния
\[
\Phi\left(\dot{\mathbf{r}}_{1}, \ldots, \dot{\mathbf{r}}_{N}, \mathbf{r}_{1}, \ldots, \mathbf{r}_{N}\right),
\]

постоянная после подстановки каждого движения системы.
Простейшие типы интегралов.
А. Интеграл импульса вдоль оси $X$ :
\[
\sum_{i} X_{i} \equiv 0 \Rightarrow P_{x}=\sum_{i} m_{i} \dot{x}_{i}=\text { const. }
\]
Б. Интеграл кинетического момента относительно өси $Z$ :
\[
G_{z}=\sum_{i} x_{i} Y_{i}-y_{i} X_{i} \equiv 0 \Rightarrow \boldsymbol{\Lambda}_{z}=\sum_{i} m_{i}\left(x_{i} \dot{y}_{i}-\dot{x}_{i} y_{i}\right)=\text { const. }
\]
В. Интеграл энергии:
\[
X_{i}=-\frac{\partial V}{\partial x_{i}}, Y_{i}=-\frac{\partial V}{\partial y_{i}}, Z_{i}=-\frac{\partial V}{\partial z_{i}} \Rightarrow H=T+V=\text { const. }
\]

Функция $V=V\left(\mathrm{r}_{1}, \ldots, \mathrm{r}_{N}\right)$ называется потенциальной энергией системы или потенциалом сил.

ЗАДАЧА МНОГИХ ТЕЛ. Пусть точки $m_{i}$ взаимодействуют по закону всемирного тяготения:
\[
\mathbf{F}_{i j}=-\gamma \frac{m_{i} m_{j}}{\left|\mathbf{r}_{i}-\mathbf{r}_{j}\right|^{3}}\left(\mathbf{r}_{i}-\mathbf{r}_{j}\right), \mathbf{F}_{i}=\sum_{j
eq i} \mathbf{F}_{i j} .
\]

Выполняется третий закон Ньютона: $\mathbf{F}_{i j}=-\mathbf{F}_{j i}$.
В задаче $N$ тел имеются следующие интегралы: импульс $\mathbf{P}=$ $=\left(P_{x}, P_{y}, P_{z}\right)$, момент $\boldsymbol{\Lambda}_{o}=\left(\Lambda_{x}, \Lambda_{y}, \Lambda_{z}\right)$, энергия $H=T+V=h$, где $V=-\Sigma_{\gamma} \frac{m_{i} m_{j}}{\left|\mathbf{r}_{i}-\mathbf{r}_{j}\right|}$. Интегралов всего семь. При $N>2$ их мень-

ше, чем число степеней свободы ( $3 N$ ). При $N=2$ положим
\[
\mathbf{r}=\mathbf{r}_{2}-\mathbf{r}_{1}, \quad m=\frac{m_{1} m_{2}}{m_{1}+m_{2}},
\]

и получим уравнение
\[
\ddot{r}=-\frac{\partial V(\mathbf{r})}{\partial \mathbf{r}}, V(\mathbf{r})=-\gamma \frac{m_{1} m_{2}}{|\mathbf{r}|},
\]
т. е. задача двух тел сводится к уже рассмотренной задаче Кеплера. Всюду дальше $N \geqslant 3$; система координат связана с центром масс, который движется равномерно и прямолинейно (поскольку $\mathbf{P}=$ const). Иначе говоря, мы считаем, что
\[
\sum_{i} m_{i} \mathrm{r}_{i}=0, \mathbf{P}=0 .
\]

Назовем движение в задаче $N$ тел планетарным, если нет столкновений и попарные расстояния ограничены на всей оси времени $t$.

Теорема Якоби. Планетарное движение возможно только при отрицательной константе интеграла энергии: $h<0$.
Лемма 1. Полный барицентрический момент системы
\[
I=\sum_{i} m_{i} \mathbf{r}_{i}^{2}=\frac{1}{\bar{M}} \sum_{i, j} m_{i} m_{j}\left(\mathbf{r}_{i}-\mathbf{r}_{j}\right)^{2}
\]
(тождество Лагранжа). В самом деле,
\[
M I=M I-\left(\sum_{i} m_{i} \mathbf{r}_{i}\right)^{2}=\left(\sum_{i} m_{i}\right)\left(\sum_{i} m_{i} \mathbf{r}_{i}^{2}\right)-\left(\sum_{i} m_{i} \mathbf{r}_{i}\right)^{2} .
\]

Легко убедиться, что коэффициенты при $m_{i} m_{j}$ в этом выражении всегда равны $\left(\mathbf{r}_{i}-\mathbf{r}_{j}\right)^{2}$.
Лемма 2 (формула Лагранжа). Вдоль движений
\[
\frac{d^{2} I}{d t^{2}}=-2 V+4 h .
\]

Действительно, непосредственное дифференцирование дает
\[
\begin{array}{c}
\frac{d I}{d t}=2 \sum_{i} m_{i}\left(\mathrm{r}_{i}, \dot{\mathrm{r}}_{i}\right), \\
\frac{d^{2} I}{d t^{2}}=2 \sum_{i} m_{i}\left(\mathrm{r}_{i}, \quad \ddot{\mathrm{r}}_{i}\right)+2 \Sigma m_{i} \mathrm{r}_{i}^{2}=-2 \sum_{i}\left(\mathrm{r}_{i}, \frac{\partial V}{\partial \mathrm{r}_{i}}\right)+4 T .
\end{array}
\]

Если $F(z)$ – однородная функция от $z$ степени $n, F(\lambda z)=$ $=\lambda^{n} F(z)$, то $\Sigma_{\alpha} \frac{\partial F}{\partial z_{a}}=n F$. Применяя этот факт к потенциалу, степень однородности которого равна -1 , получаем
\[
\frac{d^{2} I}{d t^{2}}=2 V+4 T=4 h-2 V .
\]

Доказательство теоремы. Пусть движение планетарное и $h \geqslant 0$. Тогда $\frac{d^{2} I}{d t^{2}}>4 h$ (потенциал $V$ всюду строго отрицателен); следовательно, $I$ – функция, строго выпуклая вниз. Но любая такая функция стремится к бесконечности при $t \rightarrow \infty$ или $t \rightarrow-\infty$, откуда в силу леммы 1 вытекает неограниченность попарных расстояний, и получаем противоречие.

Замечание. В задаче трех тел тройные столкновения возможны лишь при $\boldsymbol{\Lambda}=0$ (теорема Вейерштрасса; без доказательства).

Задача 20. Доказать, что а) движение с заданным значением вектора $\boldsymbol{\Lambda}$ и постоянной энергии $h$ проиеходит только при тех $\mathbf{r}_{1}, \mathbf{r}_{2}, \mathbf{r}_{3}, m_{1} \mathbf{r}_{1}+m_{2} \mathbf{r}_{2}+m_{3} \mathbf{r}_{3}=0$, для которых
\[
\Lambda^{2} / 2 I+V \leqslant h ;
\]
б) в плоской задаче трех тел (все $\mathbf{r}_{i}$ принадлежат неподвижной плоскости) последнее неравенство не только необходимо, но и достаточно, т. е. задает область возможности движения.