Рассматривается голономная система с потенциальными силами: $\mathbf{F}_{\mathbf{v}}=-\frac{\partial V}{\partial \mathbf{r}_{v}}$, причем потенциалу пока что не возбраняется зависеть от времени. Пусть на многообразии положений $\mathfrak{R}_{t}$ имеются локальные координаты $q_{1}, \ldots, q_{n}$, в силу чего
\[
\mathbf{r}_{\mathbf{v}}=\mathbf{r}_{\mathbf{v}}\left(q_{1}, \ldots, q_{n}, t\right), \quad v=1, \ldots, N .
\]

Следовательно, скорости
\[
\dot{\mathbf{r}}_{v}=\sum_{i} \frac{\partial \mathrm{r}_{i}}{\partial q_{i}} \dot{q}_{i}+\frac{\partial \mathrm{r}_{v}}{\partial t} .
\]

В каждой точке $\mathbf{r}=\left(\mathbf{r}_{1}, \ldots, \mathbf{r}_{N}\right) \in \mathfrak{R}_{t}$ есть $n$ линейно независимых наборов, касательных к $\mathfrak{M}_{t}$ :
\[
\boldsymbol{\delta}_{i}=\left\{\frac{\partial \mathbf{r}_{1}}{\partial q_{i}}, \ldots, \frac{\partial \mathbf{r}_{N}}{\partial q_{i}}\right\}
\]
(согласно замечанию о дифференцировании при фиксированном $t$ из предыдущего параграфа). Подставим эти касательные наборы в основное уравнение принципа д’Аламбера – Лагранжа:
\[
\sum_{v}\left(m_{v} \ddot{\mathbf{r}}_{v}, \frac{\partial \mathbf{r}_{v}}{\partial q_{i}}\right)=\sum_{v}\left(\mathbf{F}_{v}, \frac{\partial \mathbf{r}_{v}}{\partial q_{i}}\right) .
\]

Справа имеем
\[
\sum_{v}\left(-\frac{\partial V}{\partial \mathbf{r}_{v}}, \frac{\partial \mathbf{r}_{v}}{\partial q_{i}}\right)=-\frac{\partial V}{\partial q_{i}}, \quad V(q, t)=V(\mathbf{r}(q, t), t) .
\]

Преобразуем левую часть, используя соотношения:
\[
\frac{\partial \dot{\mathbf{r}}_{v}}{\partial \dot{q}_{i}}=\frac{\partial \mathbf{r}_{v}}{\partial q_{i}}, \frac{d}{d t} \frac{\partial \mathbf{r}_{v}}{\partial q_{i}}=\frac{\partial \dot{\mathbf{r}}_{v}}{\partial q_{i}},
\]

которые легко выводятся из (1):
\[
\begin{array}{c}
\sum_{v} m_{v}\left(\ddot{\mathbf{r}}_{v}, \frac{\partial \mathbf{r}_{v}}{\partial q_{i}}\right)=\frac{d}{d t} \sum_{v} m_{v}\left(\dot{\mathbf{r}}_{v}, \frac{\partial \mathbf{r}_{v}}{\partial q_{i}}\right)-\sum_{v} m_{v}\left(\dot{\mathbf{r}}_{v}, \frac{d}{d t} \frac{\partial \mathbf{r}_{v}}{\partial q_{i}}\right)= \\
=\frac{d}{d t} \sum_{v} m_{v}\left(\dot{\mathbf{r}}_{v}, \frac{\partial \dot{\mathbf{r}}_{v}}{\partial \dot{q}_{i}}\right)-\sum_{v} m_{v}\left(\dot{r}_{v}, \frac{\partial \dot{\mathbf{r}}_{v}}{\partial q_{i}}\right)=\frac{d}{d t} \frac{\partial}{\partial \dot{q}_{i}} \sum_{v} m_{v} \frac{\dot{\mathbf{r}}^{2}}{2}- \\
-\frac{\partial}{\partial q_{i}} \sum_{v} \frac{m_{v} \dot{\mathbf{r}}^{2}}{2}=\frac{d}{d t} \frac{\partial T}{\partial \dot{q}_{i}}-\frac{\partial T}{\partial q_{i}},
\end{array}
\]

где кинетическая энергия
\[
T=\frac{1}{2} \sum_{v} m_{v} \mathbf{r}_{v}^{2}=T\left(\dot{q}_{1}, \ldots, \dot{q}_{n}, q_{1}, \ldots, q_{n}, t\right)
\]

в силу (1). В итоге приходим к
\[
\frac{d}{d t} \frac{\partial L}{\partial \dot{q}_{i}}-\frac{\partial L}{\partial q_{i}}=0, L=T-V, i=1, \ldots, n .
\]

Принцип д’Аламбера-Лагранжа для голономных систем с потенциальными силами эквивалентен уравнениям Лагранжа (2).

КИНЕТИЧЕСКАЯ ЭНЕРГИЯ КАК ФУНКЦИЯ СКОРОСТЕИ
\[
\begin{array}{c}
T=\frac{1}{2} \sum_{v} m_{v} \mathbf{r}_{v}^{2}=\frac{1}{2} \sum_{v} m_{v}\left(\sum_{i} \frac{\partial \mathbf{r}_{v}}{\partial q_{i}} \dot{q}_{i}+\frac{\partial \mathbf{r}_{v}}{\partial t}\right)^{2}= \\
=\frac{1}{2} \sum_{v} m_{v}\left(\sum_{i} \frac{\partial \mathbf{r}_{v}}{\partial q_{i}} \dot{q}_{i}+\frac{\partial \mathbf{r}_{v}}{\partial t}, \sum_{i} \frac{\partial \mathbf{r}_{v}}{\partial q_{i}} \dot{q}_{i}+\frac{\partial \mathbf{r}_{v}}{\partial t}\right)= \\
=\frac{1}{2} \sum_{i, j} \sum_{v} m_{v}\left(\frac{\partial \mathbf{r}_{v}}{\partial q_{i}}, \frac{\partial \mathbf{r}_{v}}{\partial q_{i}}\right) \dot{q}_{i} \dot{q}_{i}+\sum_{i} \sum_{v} m_{v}\left(\frac{\partial \mathbf{r}_{v}}{\partial q_{i}}, \frac{\partial \mathbf{r}_{v}}{\partial t}\right) \dot{q}_{i}+ \\
+\frac{1}{2} \sum_{v} m_{v}\left(\frac{\partial \mathbf{r}_{v}}{\partial t}\right)^{2}=\frac{1}{2} \sum_{i, j} a_{i j} \dot{q}_{i} \dot{q}_{j}+\sum_{i} a_{i} \dot{q}_{i}+a=T_{2}+T_{1}+T_{0},
\end{array}
\]

где $T_{p}$ обозначает однородную форму скоростей степени $p$. Если $T=T_{2}$, то мы имеем так называемую классическую натуральную систему.

СТРУКТУРА ИНТЕГРАЛА ЭНЕРГИИ.

Если $\frac{\partial L}{\partial t} \equiv 0$, то имеет место интеграл «энергии» (в кавычках)
\[
H=\sum_{i} \dot{q}_{i} \frac{\partial L}{\partial \dot{q}_{i}}-L .
\]

Этот факт не зависит от структуры $L$. Действительно,
\[
\begin{aligned}
\frac{d H}{d t}= & \sum_{i}\left(\dot{q}_{i} \frac{d}{d t} \frac{\partial L}{\partial \dot{q}_{i}}\right)+\sum_{i}\left(\ddot{q}_{i} \frac{\partial L}{\partial \dot{q}_{i}}\right)-\sum_{i}\left(\dot{q}_{i} \frac{\partial L}{\partial q_{i}}\right)- \\
& -\sum_{i}\left(\ddot{q}_{i} \frac{\partial L}{\partial \dot{q}_{i}}\right)=\sum_{i} \dot{q}_{i}\left(\frac{d}{d t} \frac{\partial L}{\partial \dot{q}_{i}}-\frac{\partial L}{\partial q_{i}}\right)=0 .
\end{aligned}
\]

Для механической системы имеем так называемый интеграл Якоби–Пенлеве:
\[
\begin{array}{l}
H=\sum_{i} \dot{q}_{i} \frac{\partial T_{2}}{\partial \dot{q}_{i}}+\sum_{i} \dot{q}_{i} \frac{\partial T_{1}}{\partial \dot{q}_{i}}-T_{2}-T_{1}-T_{0}+V= \\
=2 T_{2}+T_{1}-T_{2}-T_{1}-T_{0}+V=T_{2}-T_{0}+V=h,
\end{array}
\]

который, что интересно, не содержит $T_{1}$. Поскольку $T_{2}$ положительно определена, область возможности движения $\mathfrak{M}^{h}=\left\{-T_{0}+\right.$ $+V \leqslant h\}$. Для классических натуральных систем $\mathfrak{P}^{h}=\{V \leqslant h\}$, а $H$ интеграл энергии (без кавычек).

Задача 42. Шар с невесомой штангой из задачи 32 (§11) катится по наклонной плоскости; дано: $d=r \operatorname{tg} \theta$, масса $m$, моменты инерции $A=B=C=(2 / 5) m r^{2}$, угол наклона плоскости $\beta, \varphi=0$ – направление наибольшего наклона. Доказать, что
a) уравнение Лагранжа имеет вид
\[
\ddot{\varphi}=-\frac{5}{7} \frac{g}{d} \sin \beta \sin \varphi ;
\]
б) полная энергия равна
\[
H=\frac{7}{10} m d^{2} \dot{\varphi}{ }^{2}-m g d \sin \beta \cos \varphi ;
\]
в) если $h$ – константа энергии, то шар может двигаться с $H=h$, не отрываясь от плоскости (принято $R_{\eta} \equiv 0$ ) в области
\[
\mathfrak{M}^{h}=\left\{-\sin \beta \cos \varphi \leqslant h_{1},(2 / 3) h_{1}+(1 / 3) \cos \beta \operatorname{tg} \theta\right\},
\]

где $h_{1}$ – безразмерная энергия: $h_{1}=h / m g d$. На рис. $12 \psi:=\varphi$.
Задача 43. В поле силы тяжести имеется трубка в форме кольца, вращающаяся с угловой скоростью $
u=4$ вокруг вертикальной оси; в ней скользит точка массы $m$ (см. задачу 31 в §11). Найти:
a) ОВД $\mathfrak{M}^{h}$, где $h$ – константа интеграла Якоби;
б) положения равновесия системы и частоты малых колебаний около них.

Неполный о тв е т: а) $\mathfrak{M}^{h}=\left\{\cos ^{2} \theta-\frac{2 g}{r
u^{2}} \cdot h_{1}-\frac{2 g}{
u} \cos \theta-1 \leqslant 0\right\}$, где $h_{1}=h / m g r$ – «безразмерная энергия»; б) при $v^{2} \geqslant g / r$ имеются положения равновесия в точках $\Theta_{*}= \pm \arccos \left(g / r v^{2}\right)$ с частотой малых колебаний $\omega=\sqrt{v^{4}-g^{2} / r^{2}} / v$.

ЦИКЛИЧЕСКИЕ ИНТЕГРАЛЫ.

О них уже шла речь в динамике точки. Не повторяя всех определений, напомним, что
\[
\frac{\partial L}{\partial q_{j}} \equiv 0 \Rightarrow \frac{\partial L}{\partial \dot{q}_{j}} \equiv \mathrm{const}
\]
(циклический, или кинестенический, интеграл). В случае классической натуральной системы он линеен по скоростям:
\[
\frac{\partial L}{\partial \dot{q}_{j}}=\sum_{i} a_{i j} \dot{q}_{i} .
\]

Теорема, доказанная для движения по поверхности, без труда обобщается: всякий линейный интеграл натуральной системы можно представить как циклический в некоторой системе координат.

ПОНИЖЕНИЕ ПОРЯДКА.

Пусть есть $n-m$ циклических интегралов:
\[
J_{s}=\frac{\partial L}{\partial \dot{q}_{m+s}}=c_{s}, s=1, \ldots, n-m .
\]

Лагранжиан не зависит от координат $q_{m+1}, \ldots, q_{n}$, но зависит, конечно, от скоростей $\dot{q}_{m+1}, \ldots, \dot{q}_{n}$. Наша цель – вообще исключить функции $q_{m+s}(t)$ из рассмотрения.

Теорема Рауса. Пусть наборы $q_{1}(t), \ldots, q_{m}(t), q_{m+1}(t), \ldots$ …, $q_{n}(t)$ – решения системы Лагранжа (2), на которых циклические интегралы принимают заранее заданные значения $c=$ $=\left(c_{1}, \ldots, c_{n-m}\right)$. Тогда усеченные наборы $q_{1}(t), \ldots, q_{m}(t)$ удовлетворяют уравнениям лагранжевой структуры:
\[
\frac{d}{d t} \frac{\partial R_{c}}{\partial \dot{q}_{\alpha}}-\frac{\partial R_{c}}{\partial q_{\alpha}}=0, \alpha=1, \ldots, m,
\]

в которых так называемая функция Рауса
\[
R_{c}=L-\sum_{s} c_{s} \dot{q}_{m+s}
\]

причем скорости $\dot{q}_{m+1}, \ldots, \dot{q}_{n}$ выражены через $c_{1}, \ldots, c_{n-m}, \dot{q}_{1}, \ldots$ .., $\dot{q}_{m}, q_{1}, \ldots, q_{m}, t$ из системы (3).

Уравнения (4) составляют так называемую приведенную систему.

Доказательство. Полный дифференциал функции Рауca $(5)$
\[
\begin{array}{c}
d R_{c}=\sum_{\alpha=1}^{m} \frac{\partial R_{c}}{\partial q_{\alpha}} d q_{\alpha}+\sum_{\alpha=1}^{m} \frac{\partial R_{c}}{\partial \dot{q}_{\alpha}} d \dot{q}_{\alpha}+\frac{\partial}{\partial t} R_{c} d t= \\
=\frac{\partial L}{\partial t} d t+\sum_{\alpha=1}^{m} \frac{\partial L}{\partial q_{\alpha}} d q_{\alpha}+\sum_{\alpha=1}^{m} \frac{\partial L}{\partial \dot{q}_{\alpha}} d \dot{q}_{\alpha}+\sum_{s=1}^{n-m} \frac{\partial L}{\partial \dot{q}_{s+m}} d \dot{q}_{s+m}-
\end{array}
\]

\[
-\sum_{s=1}^{n-m} c_{s} d \dot{q}_{m+s}=\frac{\partial L}{\partial t} d t+\sum_{\alpha=1}^{m}\left(\frac{\partial L}{\partial q_{\alpha}} d q_{\alpha}+\frac{\partial L}{\partial \dot{q}_{\alpha}} d \dot{q}_{\alpha}\right) .
\]

Таким образом,
\[
\frac{\partial L}{\partial q_{\alpha}}=\frac{\partial R_{c}}{\partial q_{\alpha}}, \frac{\partial L}{\partial \dot{q}_{\alpha}}=\frac{\partial R_{c}}{\partial \dot{q}_{\alpha}},
\]

и осталось подставить в уравнения Лагранжа.
Лемма. Дана автономная система с двумя степенями свободы:
\[
L=\frac{1}{2}\left(\alpha \dot{q}_{1}^{2}+2 \gamma \dot{q}_{1} \dot{q}_{2}+\beta \dot{q}_{2}^{2}\right)-V .
\]

Тогда при наличии циклической координаты $q_{2}$ функция Рауса
\[
R_{c}=\frac{1}{2} \frac{\alpha \beta-\gamma^{2}}{\beta} \dot{q}_{1}^{2}-\left(\frac{c^{2}}{2 \beta}+V\right) .
\]

В самом деле, $J=\gamma \dot{q}_{1}+\beta \dot{q}_{2}=c$ влечет $\dot{q}_{2}=\beta^{-1}\left(c-\gamma \dot{q}_{1}\right)$,
\[
\begin{array}{c}
R_{c}=\frac{1}{2}\left(\alpha \dot{q}_{1}^{2}+2 \gamma \dot{q}_{1} \beta^{-1}\left(c-\gamma \dot{q}_{1}\right)+\beta^{-1}\left(c-\gamma \dot{q}_{1}\right)^{2}\right)- \\
-V-c \beta^{-1}\left(c-\gamma \dot{q}_{1}\right)=\frac{1}{2} \frac{\alpha \beta-\gamma^{2}}{\beta} \dot{q}_{1}^{2}-\frac{c \gamma}{\beta} \dot{q}_{1}-\left(\frac{c^{2}}{2 \beta}+V\right) .
\end{array}
\]

Слагаемое $c \gamma \beta^{-1} \dot{q}_{1}$ можно отбросить в силу того, что приведенная система имеет одну степень свободы:
3 адача 44. Пусть $n=1$. Тогда, если к $L(\dot{q}, q)$ прибавить $f(q) \dot{q}$, то уравнение Лагранжа не изменится. При $n=2$ это в общем случае уже не так. Доказать.

Частный случай (6) мы имели в случае центрального поля сил в плоскости. Функция $V_{c}=c^{2} / 2 \beta+V$ называется приведенным потенциалом системы с лагранжианом $L$.
3адача 45. Прямая трубка длиной $2 l$ лежит концами на горизонтальной окружности и может свободно по ней скользить. В трубке от середины к концу движется точка с относительной скоростью $v_{0}$. Масса точки $m_{2}$, масса трубки $m_{1}$ (рис. 33).
a) Қакие есть интегралы согласно лагранжевому формализму и какие общие теоремы динамики системы точек применимы?
б) Пусть при $t=0, \dot{\Theta}(0)=\dot{\Theta}_{0}, \Theta(0)=\Theta_{0}$; требуется найти $\Theta(t)$.
Ответ:
\[
\theta(t)=\theta_{0}+\frac{a}{v_{0}} \dot{\theta}_{0} \operatorname{arctg} \frac{v_{0} t}{a}, \quad a=\sqrt{d^{2}+\frac{m_{1}}{m_{2}}\left(d^{2}+\frac{l^{2}}{3}\right)} .
\]

3адача 46. В поле силы тяжести точка массой $m$ движется по верхней половине конуса $z^{2}=x^{2}+y^{2}$. Найти: а) $\mathfrak{p}^{h} c$, где $h-$ константа энергии, $m c$ – константа циклического интеграла (здесь $\varphi$ – угловая циклическая координата в цилиндрических координатах $(z, r, \varphi))$; б) частоту малых колебаний в приведенной системе.
Ответ: а) $\mathfrak{R}_{c}^{h}=\left\{\frac{m c^{2}}{2 r^{2}}+m g r \leqslant h\right\}$;
б) $\omega=\sqrt{\frac{3}{2}} \sqrt[3]{g^{2} / c}$
Задача 47. В поле силы тяжести внутри вращающегося обруча массой $m_{1}$, могущего поворачиваться вокруг центра, катается обруч массой $m_{2}$. Радиусы обручей – $\rho$ и $r$ (рис. 34).
a) Получить циклический интеграл $\left(m_{1}+m_{2}\right) \rho \dot{\psi}-m_{2}(\rho-r) \dot{\Theta}$. Пояснить, почему этот интеграл не получается по общим теоремам.
б) Показать, что частота малых колебаний около $\Theta=0$ равна
\[
\omega=\sqrt{\frac{m_{1}+m_{2}}{2 m_{1}+m_{2}} \frac{g}{\rho-r}} .
\]

Почему она не зависит от постоянной циклического интеграла?
Задача 48. Пусть имеется натуральная система с интегралами (3). Положим $Q_{1}=\left(q_{1}, \ldots, q_{n}\right), Q_{2}=\left(q_{m+1}, \ldots, q_{n}\right)$ и представим $L$ в виде
\[
L=\frac{1}{2} \dot{Q}_{1} \cdot A_{1} \dot{Q}_{1}+\frac{1}{2} \dot{Q}_{2} \cdot A_{2} \dot{Q}_{2}+\dot{Q}_{1} \cdot A_{12} \dot{Q}_{2}-V,
\]

где $A_{1}, A_{2}, A_{12}$ – матрицы, зависящие от $q, t$ (здесь $Q_{1}, Q_{2}$ мы считаем векторами-столбцами). Показать, что функция Рауса
\[
R_{c}=\frac{1}{2} \dot{Q}_{1} \cdot\left[A_{1}-A_{12} A_{2}^{-1} A^{*}{ }_{12}\right] \dot{Q}_{1}+A_{12} A_{3}^{-1} c \cdot \dot{Q}_{1}-\left[V+-\frac{1}{2} c \cdot A_{2}^{-1} c\right] .
\]

В ней, вообще говоря, имеются слагаемые, линейные по скоростям $\dot{q}_{i}$. Последнее слагаемое называется приведенным потенциалом. Можно показать, что матрица $A_{1}-A_{12} A_{2}^{-1} A_{12}$ * положительно определена.

ПОНИЖЕНИЕ ПОРЯДКА ДЛЯ ВОЛЧКА ЛАГРАНЖА-ПУAССОНА.

Рассмотрим вращение твердого тела вокруг неподвижной точки в поле тяжести (вектор вертикали $\mathbf{f}=\mathrm{e}_{z}$ ), предполагая, что моменты инерции $B=C$ и центр масс лежит на оси динамической симметрии $O$ е на расстоянии $l$ от $O$. В частности, тело может быть просто осесимметрично.

Пусть $\theta, \psi$-сферические координаты для вектора е (см. (8.7)); здесь они называются углами нутации и прецессии. Чтобы однозначно определить положение тела, введем еще угол его собственного вращения $\varphi$ вокруг вектора $O$ е, например угол между плоскостью векторов $\mathbf{e}_{z}$, е и вектором $\mathbf{e}^{\prime \prime}$ из главного репера. Угловая скорость $\boldsymbol{л}$ линейно зависит от $\dot{\theta}, \dot{\psi}, \dot{\varphi}$; следовательно, для вычисления ее достаточно рассмотреть частные движения те-

ла, когда меняется только один из углов $\theta, \varphi, \psi$, а два другие постоянны: общий результат будет суммой трех частных. В результате легко получаем (рис. 13)
\[
\boldsymbol{\omega}=\dot{\psi} \mathbf{f}+\dot{\varphi} \mathbf{e}+\dot{\theta} \frac{[\mathfrak{f} \times \mathbf{e}]}{\sin \theta} .
\]

Учитывая, что
\[
\mathbf{f}=\cos \theta \mathbf{e}+\sin \theta\left(\sin \varphi \mathbf{e}^{\prime}+\cos \varphi \mathbf{e}^{\prime \prime}\right),
\]

приходим к таким выражениям компонент а в главном репере:
\[
\begin{array}{c}
p=\dot{\psi} \cos \theta+\dot{\varphi}, \\
q=\dot{\psi} \sin \theta \sin \varphi+\dot{\theta} \cos \varphi, \\
r=\dot{\psi} \sin \theta \cos \varphi-\dot{\theta} \sin \varphi .
\end{array}
\]

Кинетическая и потенциальная энергия
\[
\begin{array}{c}
2 T=A p^{2}+B\left(q^{2}+r^{2}\right)=B \dot{\theta}^{2}+\left(A \cos ^{2} \theta+B \sin ^{2} \theta\right) \dot{\psi}^{2}+ \\
+2 A \dot{\psi} \dot{\varphi} \cos \theta+A \dot{\varphi}^{2} \\
V=(\mathbf{f}, M g l \mathbf{e})=M g l \cos \theta .
\end{array}
\]

Видим, что в лагранжиане $L=T-V$ координаты $\varphi, \psi$ являются игнорируемыми, а соответствующие интегралы суть
\[
\begin{array}{c}
J_{\psi}=\left(A \cos ^{2} \theta+B \sin ^{2} \theta\right) \psi+A \dot{\varphi} \cos \theta=c, \\
J_{\Phi}=A \dot{\varphi}+A \dot{\psi} \cos \theta=k .
\end{array}
\]

Исключить можно сразу обе переменные, но мы начнем с того, что исключим только $\varphi$. Получим
\[
R_{k}(\dot{\theta}, \dot{\psi}, \theta, \psi)=\frac{B}{2}\left(\dot{\theta}^{2}+\sin ^{2} \theta \dot{\psi}^{2}\right)+k \dot{\psi} \cos \theta-\left(M g l \cos \theta+\frac{k^{2}}{2 A}\right) .
\]

При $k=0$ получаем (с точностью до обозначений) лагранжиан сферического маятника, а при $k
eq 0$ к нему прибавляется линейное по скорости слагаемое (постоянная $k^{2} / 2 A$ несущественна).

Изменение $\theta, \psi$ со временем описывает самое для нас интересное в движении волчка Лагранжа-Пуассона (особенно если он осесимметричен) – поведение оси Ое. Исследуем его качественно.

Вместо того чтобы понижать порядок второй раз, мы просто выпишем интегралы движения:
\[
\begin{array}{c}
\frac{B}{2}\left(\dot{\theta}^{2}+\sin ^{2} \theta \dot{\psi}^{2}\right)+M g l \cos \theta+\frac{k^{2}}{2 A}=h, \\
B \sin ^{2} \theta \dot{\psi}+k \cos \theta=c
\end{array}
\]
(последний можно получить и исключением $\psi$ из (12), (13)). Отсюда, как и для сферического маятника,
\[
\frac{B}{2} \dot{\theta}^{2}+\frac{(c-k \cos \theta)^{2}}{2 B \sin ^{2} \theta}+M g l \cos \theta+\frac{k^{2}}{2 A}=h,
\]

\[
V_{c k}(\theta)=\frac{(c-k \cos \theta)^{2}}{2 B \sin ^{2} \theta}+M g l \cos \theta+\frac{k^{2}}{2 A} \leqslant h .
\]

Угол $\theta(t)$ колеблется в некоторых пределах $\left[\theta_{1}(c, k, h), \theta_{2}(c, k\right.$, $h)]$ и может быть найден интегрированием уравнения
\[
\frac{d \theta}{d t}= \pm \sqrt{\frac{2}{B}\left(h-V_{c k}(\theta)\right)} .
\]

Что касается $\psi(t)$, то потом надо будет интегрировать
\[
\frac{d \psi}{d t}=\frac{c-k \cos \theta(t)}{B \sin ^{2} \theta(t)} .
\]

Видим, что $\psi(t)$ будет монотонной функцией, если $\arccos c / k \in$ $\in\left[\theta_{1}, \theta_{2}\right]$. Тогда вектор е $(t)$ описывает волнообразную кривую (рис. 66, a). В противном случае на кривой появятся петли (рис. 66, б). Таким образом, появление линейного члена в функции Рауса $R_{k}$ приводит к своеобразному закручиванию траекторий вектора е $(t)$.

В заключение отметим, что формулы (8)-(10) позволяют по аналогии с (11) написать лагранжиан и в общем случае движения твердого тела с неподвижной точкой в поле тяжести.