13.1. ОБОБЩЕННЫЕ МОДЕЛИ, ИСПОЛЬЗУЕМЫЕ ПРИ РЕСТАВРАЦИИ ИЗОБРАЖЕНИЙ

Для эффективного проектирования любой системы цифровой реставрации изображений необходимо знать количественные оценки искажений, вносимых физической изображающей системой, преобразователем в цифровую форму и дисплеем. Процедура реставрации в основном сводится к моделированию, а затем к обращению искажающих преобразований. Следует подчеркнуть, что адекватное моделирование процесса, порождающего искажения, часто является ключом к эффективной реставрации.

Существуют два основных подхода к моделированию искажений: априорный и апостериорный. В первом случае измеряют отклики физической изображающей системы, преобразователя в цифровую форму и дисплея на произвольное изображение. Отклик одних систем можно получить детерминированным путем, отклик других поддается определению только в вероятностном смысле. В случае апостериорного моделирования модель искажений создают на основе измерений параметров конкретного искаженного изображения, подлежащего реставрации. По существу эти два подхода различаются только способами сбора информации, описывающей характер искажений.

На рис. 13.1.1 представлена обобщенная модель цифровой изображающей системы и системы реставрации изображений. На вход изображающей системы поступает световое поле  - функция пространственных координат , времени  и длины волны спектрального излучения . Это поле портится поэлементными и пространственными искажениями, а также детерминированными и случайными помехами. В числе возможных искажений можно назвать дифракционные искажения и аберрации оптической системы, нелинейные искажения фотоматериалов, искажения, обусловленные турбулентностью атмосферы, не резкость (смаз), вызванную движением, геометрические искажения.

Рис. 13.1.1. Модель цифровой реставрации изображений.

Шумовые возмущения могут обусловливаться флуктуациями в электрических датчиках изображающих систем или зернистостью фотопленки. Изображающая система формирует в момент времени  совокупность выходных изображений, описываемых в общем виде выражением

,            (13.1.1)

где  - обобщенный оператор, являющийся функцией пространственных координат , времени , длины волны  и интенсивности светового поля . В одноцветной изображающей системе формируется только одно выходное изображение. В цветной изображающей системе  может относиться к изображениям, соответствующим координатам красного, зеленого и синего цвета . В спектрозональной системе компоненты  соответствуют различным зонам спектра.

Оператор обобщенной изображающей системы (13.1.1) может иметь различную структуру. Например, система может обладать или не обладать «памятью». Временной отклик представляет собой прямой результат взаимодействия наблюдаемых элементов изображения с одними и теми же координатами , но принадлежащих различным кадрам, разнесенным во времени. В рамках этого представления пространственная нерезкость, обусловленная апертурными искажениями электронного растрового сканера, не связывается с временным откликом. Причиной «немгновенного» временного отклика может стать, например, накопление заряда в видиконе камеры, действующей с излишне высокой кадровой частотой. В изображающей системе без памяти наблюдаемое изображение может описываться выражением вида

.               (13.1.2)

В другом особом случае временной отклик определяется взвешенным интегрированием по координате  на ограниченном временном интервале светового поля:

,                    (13.1.3)

где  - интервал интегрирования,  - временной импульсный отклик.

Во многих изображающих системах поэлементная спектральная характеристика представляет собой результат взвешенного интегрирования по  входного светового поля. Таким образом, имеем

,                     (13.1.4)

где  - спектральная характеристика датчика.

Искажения часто моделируют двумя последовательными звеньями, описывающими пространственные эффекты и поэлементные эффекты, связанные с изменением интенсивности. Представим, например, что сначала возникают поэлементные искажения , а затем - пространственные искажения . В этом случае можно записать

.                     (13.1.5)

При обратном порядке возникновения искажений запишем

.                     (13.1.6)

В обоих случаях допускается зависимость пространственных и поэлементных искажений от длины волны и времени.

Линейные пространственные искажения можно представить как результат операции суперпозиции. На выходе изображающей системы без памяти с разделимыми поэлементными и пространственными искажениями будет наблюдаться изображение вида

,                      (13.1.7)

где  - импульсный отклик, описывающий пространственные искажения изображения. В общем случае импульсный отклик является функцией всех четырех пространственных координат  и длины волны. Такую систему называют линейной пространственно-зависимой. Особый случай представляют линейные пространственно-инвариантные искажения. В этом случае наблюдаемое изображение и входное световое поле связаны интегралом свертки:

.                  (13.1.8)

В обобщенной модели на рис. 13.1.1 предполагается, что каждое из наблюдаемых изображений  переводится в цифровую форму методами, описанными в части 3; в результате в каждый момент времени  формируется массив отсчетов изображения . Отсчеты на выходе цифрового преобразователя связаны с входным наблюдаемым изображением соотношением

,             (13.1.9)

где  - оператор, моделирующий процесс преобразования изображения в цифровую форму.

Система цифровой реставрации изображений вырабатывает выходной массив , осуществляя преобразование вида

,                       (13.1.10)

где  - оператор реставрации. Дисплей интерполирует выходные отсчеты системы цифровой реставрации и формирует непрерывное изображение  - оценку исходного изображения. Для этой операции можно записать

,               (13.1.11)

где  - преобразование, выполняемое дисплеем.

Система цифровой реставрации изображений должна компенсировать искажения, вносимые изображающей системой, цифровым преобразователем и дисплеем, чтобы получить оценку гипотетического идеального изображения , воспроизводимого в системе, все элементы которой являются идеальными. Идеальная изображающая система способна сформировать идеальное изображение, описываемое функцией

,            (13.1.12)

где  - желательная спектральная характеристика,  - интервал наблюдения.

Обычно не удается осуществить идеальную реставрацию наблюдаемого изображения, после которой выходное изображение совпадает с исходным изображением. Цель проектирования системы реставрации изображений - минимизировать некоторую меру ошибки, определяемой различием  и . В данной главе в основном будут рассматриваться методы, минимизирующие среднеквадратическую ошибку, т. е. разность функций исходного и реставрированного изображений:

.                   (13.1.13)

Часто желательно наложить дополнительные ограничения на процедуру минимизации ошибки; например, можно потребовать, чтобы функция, описывающая реставрированное изображение, имела только положительные значения, если изображение представляется распределением яркости.

Поскольку реставрация изображений должна осуществляться цифровым способом, часто более удобно находить меру ошибки только в дискретных точках идеального и оцененного изображений. Соответствующие дискретные массивы можно получить, пользуясь математическими моделями идеальных цифровых преобразователей:

               (13.1.14а)

и

.              (13.1.14б)

Предполагается, что непрерывные изображения дискретизируются с шагом , удовлетворяющим критерию Найквиста. Кроме того, ошибку квантования считают пренебрежимо малой. Следует заметить, что процессы, представленные на рис. 13.1.1 блоками над пунктирной разделительной линией, отображают математические модели, а не физические операции, совершаемые над реальными полями, представляющими изображения, и массивами их отсчетов. При указанной дискретизации непрерывных идеального и оцененного изображений соответствующая среднеквадратическая ошибка реставрации принимает вид

.              (13.1.15)

Установление количественных соотношений, представленных на рис. 13.1.1, позволяет сформулировать проблему реставрации изображений в следующем виде:

При заданном дискретизованном наблюдаемом массиве изображения , полученном из исходного светового поля , определить передаточную функцию , минимизирующую меру различия  и  с учетом требуемых ограничений.

Исключительная сложность задачи реставрации изображений в формулировке, представленной выше, не позволила найти решение общего вида. Чтобы продолжить изложение, нам придется конкретизировать тип искажений и используемый метод реставрации. В последующих разделах описываются модели всех элементов обобщенной изображающей системы, представленной на рис. 13.1.1.