12.5. ОБРАБОТКА ИЗОБРАЖЕНИЙ С ПРЕОБРАЗОВАНИЕМ

Унитарные преобразования изображений, такие, как преобразования Фурье и Адамара, позволяют представить функцию, описывающую изображение, в виде совокупности спектральных коэффициентов, которые соответствуют отдельным характеристикам изображения. Например, первая спектральная составляющая (постоянная составляющая) пропорциональна средней яркости изображения. Составляющие более высокой пространственной частоты являются мерой «изрезанности» данного изображения. Это характерное свойство многих преобразований можно использовать в целях улучшения изображений. Пусть  - дискретный двумерный спектр - результат унитарного преобразования дискретизованного изображения, представленного массивом :

,                     (12.5.1а)

,                     (12.5.1б)

где  и  - ядра прямого и обратного преобразований.

Извлечение корня из спектральных коэффициентов [3]

Эта процедура заключается в том, что каждый из спектральных коэффициентов возводится в степень, причем знак или фаза коэффициентов сохраняются. Видоизмененный коэффициент определяется как

.                     (12.5.2)

Для спектра Фурье, имеющего структуру

,                (12.5.3)

где  и  - соответственно амплитудная и фазовая составляющие данного коэффициента, видоизмененный коэффициент запишется как

.                     (12.5.4)

В предельном случае, когда , видоизмененный спектральный коэффициент есть просто фазовый множитель исходного коэффициента. Если показатель степени  меньше единицы, то операция (12.5.2) - извлечение корня из коэффициентов - обычно дает следующий результат: большие коэффициенты преобразования уменьшаются, малые - увеличиваются. Такое перераспределение энергии в частотной плоскости часто приводит к более эффективному использованию динамического диапазона изображения, а также улучшает субъективное восприятие воспроизводимого изображения. На рис. 12.5.1 приведены образцы изображений, обработанных методом извлечения корня из спектральных коэффициентов.

Рис. 12.5.1. Образцы изображений, обработанных методом извлечения корня из коэффициентов Фурье.

а - исходное изображение, ; б - изображение после извлечения квадратного корня, ; в - изображение после извлечения кубического корня, ; г - изображение при сохранении только фазового множителя спектра, .

Обобщенный кепстр

Другой метод улучшения изображений с нелинейным преобразованием основан на вычислении логарифма спектральных коэффициентов. Количественный результат такой обработки состоит в том, что динамический диапазон спектральных коэффициентов обычно сужается, а динамический диапазон восстановленного изображения расширяется. Богерт, Хили и Тьюки [18] предложили подобное преобразование как средство обнаружения эхо-сигналов при обработке речи. Это преобразование, результат которого назван кепстром, состоит в том, что вычисляется энергетический спектр логарифма энергетического спектра сигнала. Оппенгейм, Шафер и Стокхэм [19] обобщили эту концепцию, определив комплексный кепстр как результат преобразования Фурье логарифма спектра Фурье. Для произвольного преобразования кепстр обобщенного логарифмического преобразования определяется следующим выражением [20]:

,                   (12.5.5)

где  - масштабная постоянная,  и  - постоянные, определяющие форму логарифмической характеристики передачи уровней. Выражение для обобщенного логарифмического преобразования можно переписать в виде

,                     (12.5.6)

где

                     (12.5.7)

представляет собой частотную характеристику нелинейного фильтра, зависящую от вида исходного изображения, подлежащего фильтрации.

Изображения естественного происхождения обычно имеют большие низкочастотные и малые высокочастотные пространственные составляющие. Поэтому процедура логарифмического преобразования автоматически обеспечивает определенное подчеркивание границ изображения. На рис. 12.5.2 показаны образцы изображений, обработанных путем вычисления кепстров Фурье и Адамара.

Рис. 12.5.2. Образцы изображений, обработанных путем вычисления кепстров Фурье и Адамара.

а - исходное изображение; б - изображение, соответствующее кепстру Фурье; в - изображение, соответствующее кепстру Адамара.