14.2. ПРОСТРАНСТВЕННАЯ РЕСТАВРАЦИЯ ИЗОБРАЖЕНИЙ МЕТОДОМ ПСЕВДООБРАЩЕНИЯ МАТРИЦ

Иногда пространственные искажения удается промоделировать некоторой операцией в векторном пространстве над вектором псевдоотсчетов идеального изображения, результатом которой является вектор наблюдаемых отсчетов искаженного изображения; пространственную реставрацию цифровых изображений с таким искажением можно осуществить методом псевдообращения матриц, описанным в гл. 8 [19-21].

14.2.1. РЕСТАВРАЦИЯ НЕРЕЗКИХ ИЗОБРАЖЕНИЙ

Прежде всего применим псевдообращение с целью реставрации нерезкого изображения. Наблюдаемое изображение моделируется интегралом суперпозиции

,              (14.2.1)

где  и  - функции, представляющие идеальное и нерезкое изображения соответственно,  - импульсный отклик (который может быть пространственно-зависимым) изображающей системы, вносящей нерезкость. Согласно формуле (13.7.6), дискретный эквивалент соотношения (14:2.1) можно получить в виде матричного уравнения

,                       (14.2.2)

где  - вектор размера  , учитывающий  реальных отсчетов нерезкого изображения,  - вектор размера  , учитывающий  псевдоотсчетов идеального изображения, а матрица  размера  состоит из элементов, представляющих собой отсчеты импульсного отклика. Если шаг реальных отсчетов совпадает с шагом квадратурных сумм, то , а система уравнений является недоопределенной. Путем увеличения числа отсчетов нерезкого изображения можно обеспечить  и даже . В любом из этих двух случаев систему уравнений называют переопределенной. Систему такого рода можно также получить, если некоторые компоненты вектора идеального изображения выразить через априорные данные. Например, если известно, что идеальное изображение содержит объект конечных размеров на черном фоне (с нулевой яркостью), то компоненты  вне контура этого объекта можно считать нулевыми.

Задача дискретной реставрации сводится к нахождению решения  уравнения (14.2.2), такого, что

.                       (14.2.3)

Поскольку вектор  задается реальными отсчетами, а элементы матрицы  определяются независимо моделью системы, не гарантируется даже существование , удовлетворяющего условию (14.2.3). Если система уравнений имеет решение, она называется совместной, если не имеет - несовместной.

В гл. 8. было показано, что несовместность системы уравнений (14.2.2) можно выразить в виде

,                        (14.2.4)

где  - вектор ошибки, величина которой зависит от . При несовместной системе уравнений ищется решение

,                     (14.2.5)

где  - линейный оператор, минимизирующий ошибку по критерию наименьших квадратов

.             (14.2.6)

В гл. 8 было показано, что эта ошибка минимальна, когда оператор  выбирается равным  - обратной матрице для , полученной методом обращения по критерию наименьших квадратов. Такая обратная матрица не обязательно является единственной. В той же главе доказывается, что оператор обобщенного обращения  (особый случай обращения по критерию наименьших квадратов) является единственным, минимизирует ошибку по критерию наименьших квадратов и одновременно обеспечивает получение оценки с минимальной нормой. Таким образом, сумма квадратов  минимальна при всех возможных

оценках по критерию наименьших квадратов. Компенсация нерезкости методом обобщенного обращения матриц обеспечивает получение наименьшей яркости исправленного изображения.

Если система уравнений (14.2.2) является совместной, то условию (14.2.3) может удовлетворять одно или несколько решений. Обычно выбирается оценка, минимизирующая ошибку по критерию наименьших квадратов, которая определяется эквивалентными выражениями вида

,              (14.2.7а)

.                    (14.2.7б)

Доказано, что ошибка оценивания минимальна, если оценка получена методом обобщенного обращения матриц . В этом случае результирующая остаточная ошибка оценивания равна

                        (14.2.8а)

или

.                    (14.2.8б)

При , естественно, получаем идеальную оценку.

Таким образом, обобщенное обращение матриц дает оптимальное решение как для совместных, так и для несовместных систем уравнений. Как следует из формулы (8.3.5), обобщенная обратная матрица может быть представлена в виде

,                 (14.2.9а)

если матрица  размера  имеет ранг . Если матрица  имеет ранг , то

.                 (14.2.9б)

В случае совместной системы уравнений и ранга  обобщенной обратной матрицы получаем оценку

,                 (14.2.10)

которая, очевидно, является идеальной. Однако во всех других случаях может появиться остаточная ошибка оценивания. Очевидно, что для получения идеальной оценки желательно иметь дело с переопределенной матрицей нерезкости ранга . К сожалению, этот случай редко имеет место при реставрации изображений. Увеличение числа отсчетов нерезкого изображения позволяет получить переопределенную систему уравнений , однако ранг матрицы нерезкости чаще всего оказывается гораздо меньше . Это объясняется тем, что с увеличением плотности отсчетов возрастает линейная зависимость между строками матрицы нерезкости. Единственный практический случай использования ранга  обобщенной обратной матрицы соответствует объекту реставрации с ограниченной и известной протяженностью.

Применение обобщенного обращения матриц наталкивается на серьезные трудности, связанные с их размером. Обобщенная обратная матрица - это матрица размера , где  - число отсчетов изображения, подлежащих оцениванию, а  - число наблюдаемых отсчетов. При использовании оператора обобщенного обращения (14.2.9) в случае изображений большого размера возникают трудности, связанные с обеспечением достоверности вычисления обобщенных обратных матриц и очень большим числом векторных перемножений в (14.2.5). Если матрица нерезкости  разделима, т. е.

,            (14.2.11)

где  и  - операторы «строчной» и «столбцовой» нерезкости, то можно уменьшить объем вычислений. В этом случае обобщенная матрица разделима в том смысле, что

,                      (14.2.12)

где  и  - обобщенные обратные матрицы для матриц  и . Таким образом, в случае разделимой матрицы нерезкости оценку изображения можно получить, последовательно действуя на все строки массива наблюдаемого изображения обобщенной обратной матрицей строчной нерезкости, а затем обрабатывая каждый столбец массива обобщенной обратной матрицей столбцовой нерезкости.

Реставрацию методом псевдообращения изображений большого размера можно осуществить приближенно. При этом нерезкое изображение разбивается на малые фрагменты, реставрируемые независимо. Процедура пофрагментной реставрации изображений подобна процедуре пофрагментной фильтрации (см. разд. 11.3). Полезно предусматривать перекрытие фрагментов и использовать только центральные отсчеты в каждом реставрированном фрагменте, поскольку именно эти отсчеты обладают наименьшей неопределенностью. В разд. 14.3 описывается эффективный вычислительный алгоритм реставрации изображений методом псевдообращения матриц в случае пространственно-инвариантной нерезкости.

На рис. 14.2.1 показаны нерезкие и исправленные изображения, иллюстрирующие процедуру реставрации методом обобщенного обращения матриц, причем были использованы модели искаженных изображений, представленные на рис. 13.7.3 и 13.7.4. Наблюдаемые изображения не были повреждены шумом. Импульсный отклик нерезкости имел гауссову форму (13.7.10) с . На рисунке, соответствующем случаю переопределенной модели, воспроизведена только центральная реставрированная область размером  элементов, увеличенная до размера  элементов; нерезкое изображение имеет размер  элементов. Исправленное изображение визуально не отличается от исходного изображения, однако изучение полученных числовых данных указывает на наличие вычислительных ошибок округления. В случае недоопределенной модели также воспроизведена только центральная область оценки размером  элементов. Хотя исправленное изображение выглядит как улучшенное нерезкое изображение, оно не идентично исходному изображению.

Рис. 14.2.1. Образцы испытательных изображений, исправленных методом псевдообращения матриц. Нерезкостъ внесена с помощью импульсного отклика гауссовой формы. Наблюдаемое изображение без шума.

а - случай переопределенной модели , нерезкое изображение; б - исправленное изображение а; в - случай недоопределенной модели , нерезкое изображение, минимальная среднеквадратическая ошибка ; г - исправленное изображение в .