Главная > Цифровая обработка изображений. Книга 2
НАПИШУ ВСЁ ЧТО ЗАДАЛИ
СЕКРЕТНЫЙ БОТ В ТЕЛЕГЕ
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Пред.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
41
42
43
44
45
46
47
48
49
50
51
52
53
54
55
56
57
58
59
60
61
62
63
64
65
66
67
68
69
70
71
72
73
74
75
76
77
78
79
80
81
82
83
84
85
86
87
88
89
90
91
92
93
94
95
96
97
98
99
100
101
102
103
104
105
106
107
108
109
110
111
112
113
114
115
116
117
118
119
120
121
122
123
124
125
126
127
128
129
130
131
132
133
134
135
136
137
138
139
140
141
142
143
144
145
146
147
148
149
150
151
152
153
154
155
156
157
158
159
160
161
162
163
164
165
166
167
168
169
170
171
172
173
174
175
176
177
178
179
180
181
182
183
184
185
186
187
188
189
190
191
192
193
194
195
196
197
198
199
200
201
202
203
204
205
206
207
208
209
210
211
212
213
214
215
216
217
218
219
220
221
222
223
224
225
226
227
228
229
230
231
232
233
234
235
236
237
238
239
240
241
242
243
244
245
246
247
248
249
250
251
252
253
254
255
256
257
258
259
260
261
262
263
264
265
266
267
268
269
270
271
272
273
274
275
276
277
278
279
280
281
282
283
284
285
286
287
288
289
290
291
292
293
294
295
296
297
298
299
300
301
302
303
304
305
306
307
308
309
310
311
312
313
314
315
316
317
318
319
320
321
322
323
324
325
326
327
328
329
330
331
332
333
334
335
336
337
338
339
340
341
342
343
344
345
346
347
348
349
350
351
352
353
354
355
356
357
358
359
360
361
362
363
364
365
366
367
368
369
370
371
372
373
374
375
376
377
378
379
380
381
382
383
384
385
386
387
388
389
390
391
392
393
394
395
396
397
398
399
400
401
402
403
404
405
406
407
408
409
410
411
412
413
414
415
416
417
418
419
420
421
422
423
424
425
426
427
428
429
430
431
432
433
434
435
436
437
438
439
440
441
442
443
444
445
446
447
448
449
450
451
452
453
454
455
456
457
458
459
460
461
462
463
464
465
466
467
468
469
470
След.
Макеты страниц

Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше

Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике

ДЛЯ СТУДЕНТОВ И ШКОЛЬНИКОВ ЕСТЬ
ZADANIA.TO

14.2. ПРОСТРАНСТВЕННАЯ РЕСТАВРАЦИЯ ИЗОБРАЖЕНИЙ МЕТОДОМ ПСЕВДООБРАЩЕНИЯ МАТРИЦ

Иногда пространственные искажения удается промоделировать некоторой операцией в векторном пространстве над вектором псевдоотсчетов идеального изображения, результатом которой является вектор наблюдаемых отсчетов искаженного изображения; пространственную реставрацию цифровых изображений с таким искажением можно осуществить методом псевдообращения матриц, описанным в гл. 8 [19-21].

14.2.1. РЕСТАВРАЦИЯ НЕРЕЗКИХ ИЗОБРАЖЕНИЙ

Прежде всего применим псевдообращение с целью реставрации нерезкого изображения. Наблюдаемое изображение моделируется интегралом суперпозиции

,              (14.2.1)

где  и  - функции, представляющие идеальное и нерезкое изображения соответственно,  - импульсный отклик (который может быть пространственно-зависимым) изображающей системы, вносящей нерезкость. Согласно формуле (13.7.6), дискретный эквивалент соотношения (14:2.1) можно получить в виде матричного уравнения

,                       (14.2.2)

где  - вектор размера  , учитывающий  реальных отсчетов нерезкого изображения,  - вектор размера  , учитывающий  псевдоотсчетов идеального изображения, а матрица  размера  состоит из элементов, представляющих собой отсчеты импульсного отклика. Если шаг реальных отсчетов совпадает с шагом квадратурных сумм, то , а система уравнений является недоопределенной. Путем увеличения числа отсчетов нерезкого изображения можно обеспечить  и даже . В любом из этих двух случаев систему уравнений называют переопределенной. Систему такого рода можно также получить, если некоторые компоненты вектора идеального изображения выразить через априорные данные. Например, если известно, что идеальное изображение содержит объект конечных размеров на черном фоне (с нулевой яркостью), то компоненты  вне контура этого объекта можно считать нулевыми.

Задача дискретной реставрации сводится к нахождению решения  уравнения (14.2.2), такого, что

.                       (14.2.3)

Поскольку вектор  задается реальными отсчетами, а элементы матрицы  определяются независимо моделью системы, не гарантируется даже существование , удовлетворяющего условию (14.2.3). Если система уравнений имеет решение, она называется совместной, если не имеет - несовместной.

В гл. 8. было показано, что несовместность системы уравнений (14.2.2) можно выразить в виде

,                        (14.2.4)

где  - вектор ошибки, величина которой зависит от . При несовместной системе уравнений ищется решение

,                     (14.2.5)

где  - линейный оператор, минимизирующий ошибку по критерию наименьших квадратов

.             (14.2.6)

В гл. 8 было показано, что эта ошибка минимальна, когда оператор  выбирается равным  - обратной матрице для , полученной методом обращения по критерию наименьших квадратов. Такая обратная матрица не обязательно является единственной. В той же главе доказывается, что оператор обобщенного обращения  (особый случай обращения по критерию наименьших квадратов) является единственным, минимизирует ошибку по критерию наименьших квадратов и одновременно обеспечивает получение оценки с минимальной нормой. Таким образом, сумма квадратов  минимальна при всех возможных

оценках по критерию наименьших квадратов. Компенсация нерезкости методом обобщенного обращения матриц обеспечивает получение наименьшей яркости исправленного изображения.

Если система уравнений (14.2.2) является совместной, то условию (14.2.3) может удовлетворять одно или несколько решений. Обычно выбирается оценка, минимизирующая ошибку по критерию наименьших квадратов, которая определяется эквивалентными выражениями вида

,              (14.2.7а)

.                    (14.2.7б)

Доказано, что ошибка оценивания минимальна, если оценка получена методом обобщенного обращения матриц . В этом случае результирующая остаточная ошибка оценивания равна

                        (14.2.8а)

или

.                    (14.2.8б)

При , естественно, получаем идеальную оценку.

Таким образом, обобщенное обращение матриц дает оптимальное решение как для совместных, так и для несовместных систем уравнений. Как следует из формулы (8.3.5), обобщенная обратная матрица может быть представлена в виде

,                 (14.2.9а)

если матрица  размера  имеет ранг . Если матрица  имеет ранг , то

.                 (14.2.9б)

В случае совместной системы уравнений и ранга  обобщенной обратной матрицы получаем оценку

,                 (14.2.10)

которая, очевидно, является идеальной. Однако во всех других случаях может появиться остаточная ошибка оценивания. Очевидно, что для получения идеальной оценки желательно иметь дело с переопределенной матрицей нерезкости ранга . К сожалению, этот случай редко имеет место при реставрации изображений. Увеличение числа отсчетов нерезкого изображения позволяет получить переопределенную систему уравнений , однако ранг матрицы нерезкости чаще всего оказывается гораздо меньше . Это объясняется тем, что с увеличением плотности отсчетов возрастает линейная зависимость между строками матрицы нерезкости. Единственный практический случай использования ранга  обобщенной обратной матрицы соответствует объекту реставрации с ограниченной и известной протяженностью.

Применение обобщенного обращения матриц наталкивается на серьезные трудности, связанные с их размером. Обобщенная обратная матрица - это матрица размера , где  - число отсчетов изображения, подлежащих оцениванию, а  - число наблюдаемых отсчетов. При использовании оператора обобщенного обращения (14.2.9) в случае изображений большого размера возникают трудности, связанные с обеспечением достоверности вычисления обобщенных обратных матриц и очень большим числом векторных перемножений в (14.2.5). Если матрица нерезкости  разделима, т. е.

,            (14.2.11)

где  и  - операторы «строчной» и «столбцовой» нерезкости, то можно уменьшить объем вычислений. В этом случае обобщенная матрица разделима в том смысле, что

,                      (14.2.12)

где  и  - обобщенные обратные матрицы для матриц  и . Таким образом, в случае разделимой матрицы нерезкости оценку изображения можно получить, последовательно действуя на все строки массива наблюдаемого изображения обобщенной обратной матрицей строчной нерезкости, а затем обрабатывая каждый столбец массива обобщенной обратной матрицей столбцовой нерезкости.

Реставрацию методом псевдообращения изображений большого размера можно осуществить приближенно. При этом нерезкое изображение разбивается на малые фрагменты, реставрируемые независимо. Процедура пофрагментной реставрации изображений подобна процедуре пофрагментной фильтрации (см. разд. 11.3). Полезно предусматривать перекрытие фрагментов и использовать только центральные отсчеты в каждом реставрированном фрагменте, поскольку именно эти отсчеты обладают наименьшей неопределенностью. В разд. 14.3 описывается эффективный вычислительный алгоритм реставрации изображений методом псевдообращения матриц в случае пространственно-инвариантной нерезкости.

На рис. 14.2.1 показаны нерезкие и исправленные изображения, иллюстрирующие процедуру реставрации методом обобщенного обращения матриц, причем были использованы модели искаженных изображений, представленные на рис. 13.7.3 и 13.7.4. Наблюдаемые изображения не были повреждены шумом. Импульсный отклик нерезкости имел гауссову форму (13.7.10) с . На рисунке, соответствующем случаю переопределенной модели, воспроизведена только центральная реставрированная область размером  элементов, увеличенная до размера  элементов; нерезкое изображение имеет размер  элементов. Исправленное изображение визуально не отличается от исходного изображения, однако изучение полученных числовых данных указывает на наличие вычислительных ошибок округления. В случае недоопределенной модели также воспроизведена только центральная область оценки размером  элементов. Хотя исправленное изображение выглядит как улучшенное нерезкое изображение, оно не идентично исходному изображению.

407.jpg

Рис. 14.2.1. Образцы испытательных изображений, исправленных методом псевдообращения матриц. Нерезкостъ внесена с помощью импульсного отклика гауссовой формы. Наблюдаемое изображение без шума.

а - случай переопределенной модели , нерезкое изображение; б - исправленное изображение а; в - случай недоопределенной модели , нерезкое изображение, минимальная среднеквадратическая ошибка ; г - исправленное изображение в .

 

1
Оглавление
email@scask.ru