14.1.6. ФИЛЬТРАЦИЯ ДИСКРЕТНЫХ ИЗОБРАЖЕНИЙ

Методы фильтрации - инверсной, винеровской и на основе параметрической оценки, разработанные для обработки непрерывных изображений, часто применяют для реставрации дискретных изображений. Общий метод состоит в замене всех непрерывных спектральных функций, используемых при фильтрации, соответствующими двумерными дискретными спектрами Фурье. При выполнении преобразований следует заботиться о том, чтобы операция дискретной фильтрации точно отображала процедуру непрерывной свертки, когда

,                   (14.1.23)

и чтобы дискретное представление импульсного отклика реставрирующего фильтра точно моделировало импульсный отклик непрерывного фильтра. Оба этих аспекта обсуждаются ниже.

В соответствии с принципами, изложенными в гл. 11, будем считать, что для представления всех непрерывных функций использованы квадратные решетки с шагом , представляющим собой интервал Найквиста для идеального изображения. Импульсный отклик реставрирующего фильтра после пространственного усечения до  дискретизируется, в результате чего образуется массив  размером . Аналогично дискретизация функции  (описывающей наблюдаемое изображение), усеченной до , приводит к образованию массива  размером . Следует отметить, что дискретизация  является процедурой математического моделирования, а дискретизация наблюдаемого изображения  - физическим процессом. Дискретная свертка дает массив  размером . Относительные размеры областей, занимаемых этими массивами, иллюстрирует рис. 9.2.3. В результате двумерного дискретного преобразования Фурье массивов  и  получаются соответственно выражения

             (14.1.24)

и

,                      (14.1.25)

где . Величина  выбирается таким образом, чтобы  и , где  - целое число, позволяющее использовать быстрое преобразование Фурье. Затем спектры Фурье наблюдаемого изображения и импульсного отклика реставрирующего фильтра скалярно перемножаются, а результат перемножения подвергается обратному преобразованию Фурье. В результате получается массив размером :

.                       (14.1.26)

Как видно из рис. 9.4.1, область массива  размером  представляет искомое исправленное дискретное изображение . До сих пор была проведена только одна аппроксимация: пространственное усечение импульсного отклика реставрирующего фильтра. Ошибку усечения можно уменьшить до любой желаемой величины путем увеличения размера массива и объема вычислений. Использование интервала Найквиста обеспечивает принципиальную возможность идеального восстановления функции  путем интерполяции отсчетов , образующих массив размером . Остается решить следующую трудную задачу: определить значения отсчетов импульсного отклика реставрирующего фильтра, используя выражение для частотной характеристики этого фильтра. Теоретически метод решения очевиден. По заданной непрерывной частотной характеристике  сначала путем обратного преобразования Фурье находится непрерывный импульсный отклик ; затем формируется дискретный импульсный отклик  путем дискретизации  в пределах решетки размером  с шагом дискретизации . На практике, однако, найти аналитически  по  часто оказывается затруднительным. Альтернативный подход состоит в дискретизации непрерывной функции  таким образом, чтобы получить дискретный спектр . Однако и этот метод может привести к аналитическим трудностям в случае использования сложных весовых функций (окон). Если аналитическое преобразование неосуществимо, остается только один выход - вычислить дискретное обратное преобразование Фурье частотной характеристики  при  и . Полученный массив отсчетов спектра импульсного отклика следует обработать соответствующим окном для получения массива размером . В результате дискретного преобразования Фурье ограниченного массива получается искомый массив . Без использования окна исправленное изображение оказывается пораженным циклической ошибкой.

Рассмотренные в данном разделе методы реставрации непрерывных изображений с использованием преобразования Фурье относительно просты для понимания и легко реализуются; в этом заключается их достоинство. Однако им присущи серьезные ограничения. Во-первых, не принимается никаких мер по борьбе с эффектами ошибок наложения побочных спектров, возникающих при дискретизации наблюдаемого изображения с недостаточно высокой частотой. Во-вторых, в самой формулировке задачи предполагается, что шаг квадратной решетки, используемой для вычисления интеграла свертки, не отличается от периода дискретизации. В-третьих, могут реставрироваться только изображения с линейными пространственно-инвариантными искажениями. В-четвертых (вероятно, это самый главный аргумент), затруднены анализ искажений, вызываемых вычислительными ошибками в процессе реставрации, и развитие методов борьбы с такими ошибками. Все это вынуждает вернуться к дискретной модели в виде массива отсчетов нерезкого изображения, разработанной в разд. 9.2, и сформулировать задачу реставрации изображений как чисто вычислительную. Этим вопросам посвящены остальные разделы данной главы.