14.2.2. РЕСТАВРАЦИЯ НЕРЕЗКОГО ИЗОБРАЖЕНИЯ МЕТОДОМ ПСЕВДООБРАЩЕНИЯ МАТРИЦ ПРИ НАЛИЧИИ ШУМА

Во многих изображающих системах идеальное изображение становится нерезким и, кроме того, повреждается аддитивным шумом. Связь наблюдаемого изображения с идеальным в этом случае можно записать в векторно-матричной форме

,                 (14.2.13)

где  и  - векторы размера , представляющие наблюдаемое изображение и шумовое поле соответственно,  - вектор размера  псевдоотсчетов идеального изображения,  - матрица нерезкости размера . Вектор  состоит из двух аддитивных составляющих, одна из которых включает отсчеты аддитивного внешнего шумового процесса, другая - компоненты разности векторов , обусловленной ошибками моделирования при задании . При наличии шума может и не оказаться векторных решений  системы уравнений (14.2.13). Однако (как было показано в гл. 8) обобщенная обратная матрица  позволяет определить оценку по критерию наименьших квадратов и с минимальной нормой. Если нет ошибок моделирования, то оценка

                      (14.2.14)

отличается от идеального изображения наличием аддитивной шумовой составляющей . Кроме того, в случае недоопределенной модели матрица  не является единичной. Ниже рассматривается влияние шума в переопределенной и недоопределенной моделях реставрации изображений.

Переопределенная модель

Если  есть матрица переопределенной системы уравнений, имеющая ранг  и заданная выражением (14.2.9а), то , а получаемая оценка равна сумме вектора исходного изображения  и вектора возмущений . Ошибку возмущений, которая содержится в оценке, можно измерить как отношение нормы вектора возмущений к норме вектора оценки. Можно показать [22, стр. 52], что относительная ошибка ограничена:

.                    (14.2.15)

Произведение , называемое условным числом  матрицы , определяет относительную ошибку в оценке, выраженную через отношение норм векторов шумового и наблюдаемого полей. Условное число можно вычислить непосредственно или же определить с помощью отношения наибольшего  и наименьшего  сингулярных значений . Чем больше условное число матрицы нерезкости, тем, очевидно, выше чувствительность к шумовым возмущениям.

На рис. 14.2.2 представлены образцы исправленных изображений для случая переопределенной модели (см. рис. 13.7.4) и гауссовой формы функции нерезкости при нескольких значениях среднеквадратического отклонения и дисперсии шума, равной 10 уровням при полной шкале 0-255. Как и ожидалось, шум наблюдаемого изображения ухудшает качество реставрации. Не было неожиданностью и то, что качество исправленного изображения хуже при средней степени нерезкости и лучше при пониженной нерезкости. Однако затем эта тенденция нарушается: субъективное качество исправленного изображения при очень большой нерезкости выше, чем при нерезкости средней степени. Это кажущееся аномальным поведение, возникающее вследствие пространственного усечения функции рассеяния точки (ФРТ), можно объяснить, наблюдая за условным числом матрицы нерезкости. На рис. 14.2.3. показана зависимость условного числа матрицы нерезкости для рассмотренных примеров от величины коэффициента нерезкости [19]. При небольшой нерезкости условное число мало. Максимум кривой достигается при умеренной нерезкости, а затем следует спад. В области бесконечно больших значений коэффициента нерезкости кривая стремится к горизонтали. Характер кривой объясняет полученные экспериментальные результаты. При осуществлении реставрации производится пространственное усечение ФРТ границами квадратной области, содержащей  псевдоотсчетов - узлов квадратурных сумм. По мере увеличения коэффициента нерезкости при фиксированных  и  ФРТ расширяется и ее хвосты усекаются все сильнее и сильнее. В пределе ненулевые элементы матрицы нерезкости становятся постоянными величинами, а условное число устанавливается на постоянном уровне. При небольших коэффициентах нерезкости эффект усечения незначителен, а кривая условного числа устремляется в бесконечность с асимптотическим значением, полученным в случае неусеченной ФРТ. С увеличением нерезкости число ненулевых элементов матрицы нерезкости возрастает, а условное число стремится к постоянной величине. Таким образом, существует компромисс между числовыми погрешностями вследствие плохой обусловленности и неточностью моделирования. Хотя этот вывод сделан на основе частной модели искажений, он носит, как представляется, более общий характер, поскольку оператор, обратный относительно оператора, описывающего нерезкость, не ограничен. Следовательно, чем точнее дискретная модель аппроксимирует непрерывную модель, тем хуже обусловленность. Более грубая аппроксимация приводит к уменьшению сингулярных значений и увеличению ошибок моделирования. Это противоречие неизбежно, и разрешить его можно только путем использования правильной априорной информации об исходном изображении.

Рис. 14.2.2. Образцы испытательных изображений, исправленных методом псевдообращения матриц. Нерезкостъ внесена с помощью импульсного отклика гауссовой формы. Случай переопределенной модели . Наблюдаемое изображение с шумом (дисперсия равна 10 уровням шкалы).

а, в, д - нерезкие изображения; б, г, е - исправленные изображения.

Рис. 14.2.3. Кривая условных чисел.

Недоопределенная модель

На рис. 14.2.4 представлены образцы исправленных изображений в случае недоопределенной модели (см. рис. 13.7.3) и гауссовой нерезкости при нескольких значениях среднеквадратического отклонения и дисперсии шума, равной 10 уровням квантования. Полученные исправленные изображения следуют той же тенденции, которая была отмечена в случае переопределенной модели: наибольшие возмущения в решении появляются при небольших значениях коэффициентов нерезкости. Это нельзя объяснить поведением условного числа, поскольку в случае недоопределенной модели  оно бесконечно. Однако необходимо учесть, что матрица нерезкости  получена транспонированием матрицы переопределенной модели и что собственные значения  и  одинаковы [23, стр. 41]. Следовательно, отношение наибольшего и наименьшего собственных значений  определяется кривой на рис. 14.2.3.

Рис. 14.2.4. Образцы испытательных изображений, исправленных методом псевдообращения матриц. Нерезкостъ внесена с помощью импульсного отклика гауссовой формы. Случай недоопределенной модели . Наблюдаемое изображение с шумом (дисперсия равна 10 уровням шкалы квантования).

а - нерезкое изображение ; б - исправленное изображение а ; в - нерезкое изображение ; г - исправленное изображение в ; д - нерезкое изображение ; е - исправленное изображение д .