14.8. МЕТОДЫ РЕСТАВРАЦИИ С ИСПОЛЬЗОВАНИЕМ ОГРАНИЧЕНИЙ

Для повышения качества исправленных изображений в моделях с плохой обусловленностью было предложено [19] вводить ограничения в виде равенств и ограничения в виде неравенств. Можно, например, задавать значения отдельных элементов, отношения отдельных элементов, сумму части или всех элементов или же предельно допустимые уровни элементов.

В переопределенной линейной модели могут использоваться ограничения в виде системы линейных уравнений

,               (14.8.1)

где  - заданная матрица размера  ранга , описывающая ограничения,  - оценка при наличии ограничений,  - известный вектор размера . Минимизация взвешенной ошибки  с учетом ограничений (14.8.1)  позволяет получить следующую оценку [28, стр. 100]:

,      (14.8.2)

где - решение без ограничений. Ковариационная матрица оптимального решения определяется как

,               (14.8.3)

где  - (положительно определенная) ковариационная матрица без ограничений. Можно показать, что вторая матрица в выражении (14.8.3) является неотрицательно определенной матрицей ранга . Следовательно, каждый диагональный элемент матрицы  меньше или равен соответствующему элементу , а дисперсия каждого элемента вектора оценки с ограничениями меньше дисперсии соответствующего элемента вектора оценки без ограничений. Однако это не означает, что оценка с ограничениями всегда лучше оценки без ограничений. Более того, первая может оказаться смещенной, вторая - нет. Смещение решения при наличии ограничений

    (14.8.4)

будет иметь нулевое значение тогда и только тогда, когда ограничения удовлетворяются истинным вектором , т. е. тогда и только тогда, когда . В этом случае система ограничений может рассматриваться как совокупность дополнительных наблюдаемых полей, не пораженных шумом. При решении задач реставрации изображений можно ввести разумное ограничение, состоящее в том, что сумма значений элементов исправленного изображения должна равняться некоторому усредненному значению, например среднему уровню наблюдаемого изображения. Однако такое ограничение оказывается не очень полезным для преодоления плохой обусловленности, так как влияет только на одну степень свободы в векторном пространстве размерности .

Часто доступна априорная информация в виде ограничений-неравенств, обусловливающих значения элементов изображения. Физика процесса формирования изображений такова, что элементы изображения должны иметь неотрицательные значения. Часто известна верхняя граница этих значений, поскольку при преобразовании изображений в цифровую форму на каждый элемент отводится конечное число двоичных разрядов. Кроме того, вводятся вполне очевидные ограничения по уровню, связанные с необходимостью подогнать контрастный диапазон реставрированного изображения к динамическому диапазону дисплея. Один из возможных подходов - линейное масштабирование контраста исправленного изображения с учетом заданного динамического диапазона дисплея. Прибегать к этой процедуре обычно нежелательно, поскольку появление даже нескольких элементов с ненормально высокой яркостью приводит к снижению контраста всего изображения. Следует также учитывать, что контрастное масштабирование обычно влияет на среднюю яркость исправленного изображения. Другой распространенный метод воспроизведения изображений предусматривает ограничение уровня элементов в случае превышения порогового уровня дисплея. Хотя этот метод превосходит метод контрастного масштабирования по субъективному качеству изображения, он может дать смещение оценки.

Если реставрация изображений должна осуществляться с априорно вводимыми ограничениями уровней элементов, то лучше всего учесть эти ограничения непосредственно при реставрации; введение ограничений после завершения процедуры реставрации дает худший результат. Известно несколько методов реставрации изображений с использованием ограничений в виде неравенств.

Рассмотрим общий случай реставрации с ограничениями, когда вектор оценки  должен удовлетворять неравенствам

,         (14.8.5)

где  и  - векторы, учитывающие верхний и нижний пределы ограничения оценки элементов. В случае реставрации по критерию наименьших квадратов квадратическую ошибку следует минимизировать с учетом ограничения (14.8.5). Такой подход приводит к задаче квадратического программирования (19). При использовании абсолютной ошибки задачу реставрации можно сформулировать как задачу линейного программирования [34,35].

Рис. 14.8.1. Сравнение изображений, реставрированных без ограничений и с ограничениями. Нерезкость внесена с помощью импульсного отклика гауссовой формы . Случай переопределенной модели. Наблюдаемое изображение с шумом (дисперсия равна 10 уровням шкалы):  а - нерезкое изображение: б - изображение а, исправленное без ограничений; в - изображение а, исправленное с ограничениями в виде неравенств.

Априорная информация, включающая ограничения в виде неравенств, может обеспечить существенное уменьшение неопределенности элементов исправленного изображения; однако, как и в случае использования ограничений-равенств, оценка может получить неизвестное смещение.

Рис. 14.8.1 иллюстрирует качество реставрации изображения с гауссовой нерезкостью, соответствующей переопределенной модели (см. гл. 13). Изображение на рис. 14.8.1, б реставрировано методом псевдообращения матриц, а изображение на рис. 14.8.1, в - с использованием ограничений-неравенств [19], требующих, чтобы яркость каждого элемента исправленного изображения находилась в диапазоне 0—255. Введение ограничений обеспечивает существенное повышение качества реставрации. К сожалению, решение задачи квадратического программирования, которое использовано в рассматриваемом примере, требует выполнения большого объема вычислений. Распространить принцип «грубой силы» на рассматриваемый метод не представляется возможным.

Предложен ряд способов улучшения метода реставрации изображений с использованием ограничений. Один простой подход, основанный на идее гомоморфной фильтрации, заключается в логарифмировании каждого наблюдаемого изображения. Потенцирование соответствующих оценок автоматически приводит к строго положительному результату. Берг [5, 36, 37] и Фриден [5, 38, 39] разработали методы реставрации с ограничением в виде условия положительности, основанные на принципе максимума энтропии, который впервые был применен для оценивания плотности вероятности по ее моментам. Метод Берга, дающий решение в замкнутой форме, при наличии шума иногда приводит к неустойчивым оценкам. Итеративный метод Фридена с успехом был применен для обработки одномерных сигналов и небольших изображений. Джанссон и др. [40] на основе результатов более ранней работы Ван Циттера [41] разработали итеративный метод реставрации, в котором используются итерационные уравнения вида [5, 40]

,                          (14.8.6)

,                  (14.8.7)

где индекс  указывает номер итерации, а . Диагональная матрица  определяется как

,              (14.8.8)

где  - постоянная. Когда значение элемента исправленного изображения приближается к верхнему или нижнему пределу ограничения, соответствующий взвешивающий коэффициент  стремится к нулю, благодаря чему обеспечивается устойчивость этого члена оценки. Метод дал хорошие результаты при обработке одномерных сигналов. Хуанг и др. [42, 43] предложили модифицированный метод для реставрации изображений с ограничениями — так называемый метод проекций, предусматривающий итеративное решение системы уравнений  численными методами. На каждом этапе промежуточные оценки подвергаются ограничению по уровню в соответствии с установленным динамическим диапазоном.

Реставрация изображений с ограничениями - развивающаяся область исследований. Здесь ведутся настойчивые поиски эффективных вычислительных методов, минимизирующих ошибки оценивания при наличии дополнительных ограничений.