Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше
Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике
14.7. МЕТОДЫ РЕСТАВРАЦИИ ИЗОБРАЖЕНИЙ СО СГЛАЖИВАНИЕМ
Проблемы плохой обусловленности,
возникающие при реставрации изображений, иногда удается преодолеть, прибегая к
методам сглаживания и регуляризации [31-33], которые в основном связаны с
введением меры гладкости решений, полученных методом наименьших квадратов.
Методы сглаживания имеют две
формулировки [19]. Согласно первой из них, ищется минимум величины
при ограничении
, (14.7.1)
где
- сглаживающая матрица,
- матрица
взвешивания ошибки,
- остаточная скалярная ошибка оценки.
Матрица
часто
выбирается равной обратной матрице относительно ковариационной матрицы шума,
т. е.
.
Обычной формой сглаживающей матрицы является матрица
, (14.7.2)
где
(14.7.3)
есть одномерный линейный оператор,
формирующий скользящее окно для получения оценки. Условный минимум гладкости
совпадает с минимумом функции Лагранжа
. (14.7.4)
Вычисляя производные по
и
и приравнивая их
нулю, находим оценки
(14.7.5а)
и
(14.7.5б)
для несингулярной переопределенной
и несингулярной недоопределенной систем соответственно. В выражениях (14.7.5)
лагранжев коэффициент
должен удовлетворять условию
(14.7.1), т. е. предполагается, что достигается компромисс между остаточной
ошибкой и гладкостью оценки.
Теперь рассмотрим вторую
формулировку. В этом случае решается задача минимизации среднеквадратической
ошибки
при
ограничении
, (14.7.6)
где
- скаляр, соответствующий
фиксированной гладкости. Функция Лагранжа принимает вид
. (14.7.7)
По этому уравнению находится
оптимальное решение для переопределенной несингулярной системы:
. (14.7.8а)
Оценка для недоопределенной
системы принимает вид
. (14.7.8б)
Сравнение формул (14.7.5) и
(14.7.8) показывает, что для обеих взаимно обратных задач получаются решения,
которые различаются только взаимно обратными множителями Лагранжа.
Оценки (14.7.8), полученные
методом сглаживания, имеют близкое сходство с оценками на основе регрессии и
винеровскими оценками, найденными выше. При
,
и
, где
- ковариационная матрица шума,
оценки, полученные методами сглаживания и регрессии, становятся эквивалентными.
При
,
и
, где
- ковариационная
матрица изображения, оценка, полученная методом сглаживания, эквивалентна
винеровской оценке. Это сходство позволяет объяснить, почему реставрация
методом регрессии и винеровская реставрация обеспечивают более гладкие оценки,
чем реставрация методом псевдообращения матриц. При использовании методов
сглаживания и регуляризации смещение решения удается определить только в виде
функциональной зависимости от
, даже если можно вычислить дисперсию
решения.
Как уже указывалось, Хант [18]
разработал фильтр для реставрации изображений в спектральной области с
использованием критерия наименьших квадратов, имеющий частотную характеристику
(14.1.22). Это выражение можно
использовать как основу быстрого вычислительного алгоритма для осуществления
процедуры реставрации с использованием сглаживания согласно (14.7.8), если
соответствующим образом доопределить наблюдаемый вектор
.