14.7. МЕТОДЫ РЕСТАВРАЦИИ ИЗОБРАЖЕНИЙ СО СГЛАЖИВАНИЕМ
Проблемы плохой обусловленности,
возникающие при реставрации изображений, иногда удается преодолеть, прибегая к
методам сглаживания и регуляризации [31-33], которые в основном связаны с
введением меры гладкости решений, полученных методом наименьших квадратов.
Методы сглаживания имеют две
формулировки [19]. Согласно первой из них, ищется минимум величины 
при ограничении
, (14.7.1)
где 
- сглаживающая матрица, 
- матрица
взвешивания ошибки, 
- остаточная скалярная ошибка оценки.
Матрица часто
выбирается равной обратной матрице относительно ковариационной матрицы шума,
т. е. 
.
Обычной формой сглаживающей матрицы является матрица
, (14.7.2)
где
(14.7.3)
есть одномерный линейный оператор,
формирующий скользящее окно для получения оценки. Условный минимум гладкости
совпадает с минимумом функции Лагранжа
. (14.7.4)
Вычисляя производные по 
и 
и приравнивая их
нулю, находим оценки
(14.7.5а)
и
(14.7.5б)
для несингулярной переопределенной
и несингулярной недоопределенной систем соответственно. В выражениях (14.7.5)
лагранжев коэффициент должен удовлетворять условию
(14.7.1), т. е. предполагается, что достигается компромисс между остаточной
ошибкой и гладкостью оценки.
Теперь рассмотрим вторую
формулировку. В этом случае решается задача минимизации среднеквадратической
ошибки 
при
ограничении
, (14.7.6)
где 
- скаляр, соответствующий
фиксированной гладкости. Функция Лагранжа принимает вид
. (14.7.7)
По этому уравнению находится
оптимальное решение для переопределенной несингулярной системы:
. (14.7.8а)
Оценка для недоопределенной
системы принимает вид
. (14.7.8б)
Сравнение формул (14.7.5) и
(14.7.8) показывает, что для обеих взаимно обратных задач получаются решения,
которые различаются только взаимно обратными множителями Лагранжа.
Оценки (14.7.8), полученные
методом сглаживания, имеют близкое сходство с оценками на основе регрессии и
винеровскими оценками, найденными выше. При 
, 
и , где 
- ковариационная матрица шума,
оценки, полученные методами сглаживания и регрессии, становятся эквивалентными.
При 
, 
и , где 
- ковариационная
матрица изображения, оценка, полученная методом сглаживания, эквивалентна
винеровской оценке. Это сходство позволяет объяснить, почему реставрация
методом регрессии и винеровская реставрация обеспечивают более гладкие оценки,
чем реставрация методом псевдообращения матриц. При использовании методов
сглаживания и регуляризации смещение решения удается определить только в виде
функциональной зависимости от , даже если можно вычислить дисперсию
решения.
Как уже указывалось, Хант [18]
разработал фильтр для реставрации изображений в спектральной области с
использованием критерия наименьших квадратов, имеющий частотную характеристику
(14.1.22). Это выражение можно
использовать как основу быстрого вычислительного алгоритма для осуществления
процедуры реставрации с использованием сглаживания согласно (14.7.8), если
соответствующим образом доопределить наблюдаемый вектор 
.
