19.3. СОГЛАСОВАННАЯ ФИЛЬТРАЦИЯ ИЗОБРАЖЕНИЙ СЛУЧАЙНЫХ ПОЛЕЙ

В предыдущем разделе идеальное изображение, описываемое функцией , которое требовалось обнаружить в присутствии аддитивного шума, считалось детерминированным. Если состояние  известно не точно, а лишь с некоторой вероятностью, то идею согласованной фильтрации можно распространить на случай обнаружения случайного ноля в присутствии шума [13]. Даже если известно, что функция  - детерминированная, часто оказывается полезным рассмотреть ее как случайную со средним . Такая формулировка позволяет учесть в процессе обнаружения априорные знания относительно пространственной корреляции элементов наблюдаемого изображения. При обычной согласованной фильтрации в соответствии с уравнением (19.2.7) эта корреляция полностью игнорируется.

Для целей анализа представим неизвестное поле либо в виде суммы идеального изображения  - реализации случайного ноля (двумерного случайного процесса) с известными моментами - и шумового поля , не зависящего от изображения:

,                             (19.3.1а)

либо в виде одного лишь шума

.                                                  (19.3.1б)

Неизвестное поле подвергается свертке с импульсным откликом согласованного фильтра ; в результате на выходе фильтра образуется поле

.                           (19.3.2)

Согласованный фильтр для случайного изображения рассчитывается так, чтобы максимизировать отношение средней энергии сигнала (без учета шума) к дисперсии сигнала на выходе фильтра. Это простое обобщение обычного отношения сигнал-шум, описываемого формулой (19.2.6). При отсутствии шума энергия случайного сигнала в некоторой точке  выходного поля равна

.           (19.3.3)

Согласно теореме о свертке и в силу линейности оператора математического ожидания,

.        (19.3.4)

Дисперсия на выходе согласованного фильтра в предположении стационарности и независимости сигнала и шума равна

,          (19.3.5)

где  и  - спектральные плотности соответственно сигнала и шума. Обобщенное отношение сигнал/шум, совпадающее по форме с отношением (19.2.6) для детерминированного сигнала, максимизируется при

.           (19.3.6)

Заметим, что если  - детерминированный сигнал, то выражение (19.3.6) сводится к выражению (19.2.7).

В выражении для частотной характеристики согласованного фильтра случайного сигнала часто заменяют среднее значение спектра идеального изображения, которое требуется обнаружить, на спектр самого изображения. В этом случае при

.                    (19.3.7)

Интерес представляет особый случай, когда шум белый  и идеальное изображение рассматривается как неразделимый марковский процесс первого порядка, определяемый уравнением (1.9.17), энергетический спектр которого

,                                     (19.3.8)

где  - коэффициент корреляции соседних элементов. Для таких процессов частотная характеристика согласованного фильтра имеет вид

.                 (19.3.9)

На высоких пространственных частотах и при низком уровне шумов согласованный фильтр, определяемый соотношением (19.3.9), становится эквивалентным согласованному фильтру с лапласианом, который описывается выражением (19.2.25).