§ 100. Уравнение Пуассона. Адиабатная работа газа

Процессы адиабатного расширения и сжатия газов (или процессы близкие к ним) широко используются почти во всех термодинамических циклах тепловых и холодильных машин, а также в различных пневматических машинах и компрессорах. Эти процессы играют также существенную роль в атмосферных явлениях, в явлениях упругости (при быстрых изменениях напряжения), в звуковых явлениях и др.

Уравнение, связывающее параметры состояния газа при равновесном адиабатном расширении или сжатии, было дано Пуассоном (в 1823 г.). Уравнение Пуассона, как показано ниже, легко выводится из первого начала термодинамики; причем обнаруживается, что некоторая функция параметров состояния («энтропия») при равновесных адиабатных процессах остается постоянной. Физический смысл упомянутой функции (энтропии) в полной мере раскрывается на основе второго начала термодинамики в совокупности с выводами статистической механики (§ 102, 103, 104).

В общем случае теплота сообщаемая телу, идет на увеличение внутренней энергии и на производство работы При бесконечно малом изменении состояния и

Поскольку для идеальных газов то

Если равновесное расширение или сжатие газа происходит адиабатно, т. е. без притока или отнятия тепла, когда то очевидно, что изменение температуры и объема в этом случае подчинено нижеследующему уравнению:

Чтобы проинтегрировать это уравнение, нужно разделить переменные, что легко достигается подстановкой и почленным делением на Т:

Учитывая, что — есть дифференциал натурального логарифма х, мы видим, что правую часть написанного выражения можно получить, если, во-первых, продифференцировать функцию

где во-вторых, принять, что эта функция при равновесном адиабатном расширении или сжатии остается неизменной Эта функция есть энтропия идеального газа.

Потенцируя найденное соотношение между при равновесном адиабатном расширении или сжатии газа, получим для 1 моля

где для удобства сопоставления с последующими формулами введено обозначение стало быть,

Отсюда мы видим, что при равновесном адиабатном расширении температура убывает обратно пропорционально степени объема. Следовательно, быстрее всего температура убывает у одноатомного газа. Это происходит потому, что при одинаковых температурах запас внутренней энергии одноатомного газа менее велик, чем у многоатомного.

Выведенная зависимость между при равновесном адиабатном процессе представляет собой одно из уравнений Пуассона. Два других уравнения Пуассона для адиабат газа определяют зависимость между и между Тир. Соответственно и энтропия газа может быть представлена как функция этих параметров.

Подставим в вышеприведенную формулу для под знак логарифма вместо объема его выражение по уравнению Клапейрона Логарифмируя, получим три члена. Первый из них, объединим с константой а и обозначим сумму их через Второй член, соединим с первым членом уравнения вынесем за скобки и учтем, что Таким образом находим:

где

Отсюда, потенцируя, получаем второе уравнение Пуассона:

где по-прежнему

Возвращаясь опять к первой формуле для [формула (2)], заменим в ней абсолютную температуру ее выражением из уравнения

Клапейрона Логарифмируя, получим три члена: первый из них второй член соединим с вынесем за скобки и учтем, что третий член — объединим с константой а и обозначим их алгебраическую сумму через Таким образом получим:

где

Потенцируя, находим третье уравнение Пуассона, определяющее вид адиабат газа в диаграмме

Так как всегда то, сопоставляя это уравнение адиабат газа с уравнением изотерм по Бойлю , мы видим, что в диаграмме адиабаты круче спадают к оси объемов, чем изотермы.

Для удобства пользования формулами Пуассона приводим таблицу, указывающую значение величин которые фигурируют в формулах Пуассона в качестве показателей степени.

В последнем столбце этой таблички приведены значения эта величина показывает, во сколько раз теплоемкость 1 моля газа больше универсальной газовой постоянной.

(см. скан)

Уравнение Пуассона по смыслу его вывода приложимо только к равновесному адиабатному процессу. Для расчета быстрого (а значит, и неравновесного) адиабатного сжатия или расширения уравнением Пуассона по сути дела пользоваться нельзя. Резко, ударом увеличивая нагрузку на поршень, удерживающий газ в цилиндре, мы затрачиваем на сжатие газа больше работы, чем потребовалось бы при осторожном, постепенном увеличении нагрузки; в связи с этим температура газа будет возрастать быстрее, чем это следует по уравнению Пуассона, При неравновесном расширении газ производит меньшую работу, чем мог бы произвести, и поэтому температура будет падать медленнее.

Для расчета неравновесных (быстро протекающих) адиабатных процессов на практике часто пользуются формулами, тождественными по виду с приведенными выше формулами Пуассона, с тем, однако, существенным отличием, что величину , которая в формулах Пуассона означает отношение теплоемкостей рассматривают просто как некоторую эмпирическую константу и подбирают для нее такое значение, при котором эти в сущности незаконно применяемые формулы дают наилучшее согласие с показаниями опыта.

Рис. 207. Заштрихованная площадь изображает убыль внутренней энергии;

Когда сжатие или расширение тела происходит без притока или отдачи тепла, все равно — равновесно или же неравновесно, то работа производится телом за счет внутренней энергии (рис. 207)

Чтобы реализовать хотя бы приближенно условия равновесного адиабатного сжатия или расширения, надо, понятно, изолировать тело в тепловом отношении от окружающих тел, например поместить его в цилиндр, одетый в кожух, изготовленный из «плохих проводников тепла», или, что надежнее, поместить тело в цилиндр, подвешенный внутри другого цилиндра, который отделен от первого безвоздушным промежутком.

Легче осуществить неравновесное адиабатное сжатие или расширение. При крайне быстром сжатии тело не успевает отдать заметного количества тепла окружающей среде, и поэтому приближенно можно считать, что крайне быстрое сжатие происходит адиабатно. На этом основании прилагают, например, формулу адиабатной работы [формула (8)] к сжатию горючей смеси в цилиндре двигателя внутреннего сгорания.

Для газов работу адиабатного расширения можно вычислить по падению температуры. Действительно, по закону Джоуля для молей газа следовательно,

Если адиабатное расширение или сжатие протекало равновесно, то согласно формулам Пуассона, которые были пояснены выше, должно иметь место следующее соотношение между параметрами состояния газа в начале и в конце процесса:

Воспользовавшись этим соотношением, мы напишем две формулы, часто применяемые на практике для вычисления работы адиабатного расширения газа. С этой целью в выражении вынесем за скобки и заменим через Далее вместо отношения абсолютных температур подставим соответствующую степень отношения давлений или обратного отношения объемов. Таким образом, находим для молей газа:

Эти формулы справедливы для идеального газа, испытывающего равновесное адиабатное расширение или сжатие На практике их применяют к реальным газам и вычисляют по ним работу быстрого (значит, неравновесного) адиабатного расширения или сжатия, достигая согласия с опытом путем подбора константы . Этими формулами широко пользуются, например, при расчете газовых двигателей.