§ 133. Адиабатное течение газа

Для многих технических приложений газодинамики весьма важным случаем является течение газа по трубопроводу переменного сечения без притока или отдачи тепла (т. е. адиаёатно) и без производства работы. В этом случае, когда (для упрощения положим, что и основное уравнение газодинамики преобразуется в уравнение, которое является термодинамическим обобщением уравнения Бернулли:

Здесь в отличие от уравнения Бернулли (§ 49) вместо давления, деленного на плотность, фигурирует теплосодержание; но и очевидно, что для потока несжимаемой жидкости, когда нет необходимости учитывать изменение термодинамического состояния (т. е. когда внутренняя энергия жидкости предполагается постоянной, и когда плотность неизменна), уравнение (4) переходит в уравнение Бернулли.

Из термодинамического обобщения уравнения Бернулли мы видим, что сумма теплосодержания и кинетической энергии газового потока при стационарном адиабатном течении без производства работы одинакова для всех сечений потока.

Течение, при котором скорость газа убывает, а плотность, давление и температура растут, называется течением со сжатием. (Следует подчеркнуть, что здесь слово «сжатие» относится к термодинамическому состоянию потока, к удельному объему газа, а отнюдь не к площади поперечного сечения трубопровода; при не слишком больших начальных скоростях газа в расширяющемся трубопроводе газ затормаживается, кинетическая энергия его уменьшается, а температура и плотность растут, т. е. имеет место течение со сжатием.)

Течение, при котором кинетическая энергия потока растет, а плотность, давление и температура уменьшаются, называется течением с расширением. Рассмотрим оба случая течения в отдельности.

Течение с расширением имеет место, например, при истечении пара из котла или при истечении газа из камеры реактивного двигателя.

При адиабатном течении с расширением прирост кинетической энергии вызывается убылью теплосодержания и падением температуры:

Падение температуры сопровождается уменьшением давления и плотности газа 7; когда расширение газа происходит равновесно, можно воспользоваться уравнением Пуассона

Следовательно,

Здесь согласно уравнению Майера

Представим себе, что из баллона, где давление газа и температура вследствие большого поперечного сечения баллона приближенно можно принять равной нулю), газ адиабатно вытекает через отверстие площадью 5 в резервуар, в котором давление («противодавление») При небольших перепадах давления (когда превышает на несколько процентов или десятков процентов, но не более чем в раза) давление газа в вытекающей струе равно противодавлению В этом случае согласно уравнению (6) скорость истечения определяется формулой

Здесь статическое давление в вытекающей струе.

Весовой расход газа равен произведению площади поперечного сечения отверстия на скорость истечения и на плотность вытекающего газа

По мере уменьшения противодавления давление в вытекающей струе будет уменьшаться, а вместе с ним будет адиабатно уменьшаться по закону Пуассона и плотность вытекающего газа; скорость истечения будет расти.

Весовой расход газа через данное отверстие 5 определяется двумя величинами: плотностью и скоростью истечения газа. Первая из этих величин, с уменьшением противодавления убывает, а вторая, наоборот, растет. Расход газа с уменьшением противодавления первое время увеличивается за счет быстрого увеличения скорости; затем расход замедляется за счет заметного уменьшения плотности и, наконец, становится постоянным: каким бы малым ни было противодавление, расход газа будет иметь одну и ту же величину.

Таким образом, оказывается, что когда противодавление составляет примерно половину давления в баллоне (более точное соотношение указано ниже), то дальнейшее уменьшение противодавления является бесполезным для повышения скорости истечения и расхода газа. В струе устанавливаются некоторые так называемые критические значения скорости истечения, давления, температуры и плотности газа, которые уже более не изменяются, как бы мы дальше ни уменьшали противодавление. Если до этого момента давление на выходе в струе, как было упомянуто выше, оставалось равным противодавлению то с указанного момента при истечении газа с критической скоростью у выходного отверстия устанавливается скачок давления так как уменьшение уже не будет больше вызывать уменьшения

Пусть, например, в баллоне заключен газ под давлением в можно выпускать этот газ в пустоту, в атмосферу или перепускать этот газ в другой баллон, где давление составляет несколько атмосфер; во всех случаях расход газа, скорость его истечения и давление в вытекающей струе будут одинаковы и будут оставаться постоянными до тех пор, пока противодавление не достигнет (при дальнейшем росте противодавления расход и скорость истечения будут уменьшаться).

Можно доказать (см. примечание на стр. 532—533), что отношение давления в баллоне перед истечением к критическому давлению в струе равно:

(для воздуха

Скорость газа, вытекающего из отверстия или из сужающегося насадка, не может быть больше критической скорости:

Понижение температуры в струе при критическом истечении согласно уравнению Пуассона и формуле (8) равно:

Таким образом, стало быть, формулу (9) можно переписать так:

Критическая скорость равна скорости, с которой распространяется звук при имеющейся в струе температуре Тк. Ни при каком сколь угодно большом давлении в баллоне газ не может вытекать из отверстия со скоростью, большей, чем скорость звука.

Когда давление в струе равно критическому давлению, а скорость истечения равна скорости звука, то расход газа С будет иметь наибольшую величину, возможную при начальных термодинамических параметрах газа в баллоне.

Вычисление показывает, что максимальный расход газа при критическом течении определяется формулой

Для воздуха при

Чтобы понять физические причины, обусловливающие существование критических параметров в струе вытекающего газа, представим себе, что противодавление вдруг резко снижено (хотя бы до нуля); если скорость истечения уже достигла перед тем скорости звука, то «весть» об указанном событии никогда не будет передана возникшей звуковой волной разрежения в струю выходящего газа, и, стало быть, это событие не отразится на термодинамическом состоянии газа, вытекающего со скоростью распространения звуковых волн.

Рис. 268.

Регулируя режим течения газа определенным выбором профиля трубопровода, можно использовать избыточное давление, возникающее в струе при критическом истечении, и реализовать скорости течения, превышающие скорость звука Физически эта задача заключается в том, чтобы изыскать условия, при которых неупорядоченное молекулярно-тепловое движение в газе, который уже движется со скоростью звука, частично превратить в упорядоченное движение и, таким образом сообщить массе газа скорость, превышающую критическую скорость истечения. С указанной целью авалем, Стентоном и советским ученым Франклем были разработаны сверхзвуковые сопла (рис» 268).

В сопле Лаваля скорость газа непрерывно растет , в сужающейся части сопла скорость возрастает от нуля до звуковой величины (рис. 269), в расширяющейся части сопла скорость возрастает от звуковой до сверхзвуковой величины.

Весовой расход воздуха через любое сечение выходного сопла имеет одну и ту же величину:

Это — уравнение неразрывности для потока сжимаемою газа. Отсюда может быть найдено соотношение между любыми двумя сечениями сопла.

Давление газа по мере приближения к выходу из сопла падает, как показано на рис. 269; при уменьшении давления (за критическую величину) скорость истечения растет медленнее, чем уменьшается плотность; поэтому увеличение скорости должно обеспечиваться расширением сопла: выходное сечение больше критического, Следует обратить внимание на различие между течением несжимаемой жидкости и течением газа при сверхкритическом перепаде давления: скорость несжимаемой жидкости (как и скорость газа при докритическом давлении) увеличивается в сужающихся трубах; наоборот, скорость при сверхкритических перепадах давления после перехода за звуковую величину увеличивается в расширяющихся соплах

Расширяющиеся сопла применяются в паровых и газовых турбинах, в реактивных двигателях и некоторых других устройствах

Рис. 269. Изменение давления и скорости в расширяющемся сопле для сверхзвуково течения воздуха.

При больших относительных перепадах давления понижение тем пературы газа, текущего по расширяющемуся соплу, бывает очень значительным. Так, например, когда то температура вытекающей струи воздуха понижается почти на 80°.

Течение со сжатием характеризуется уменьшением скорости потока и возрастанием давления, плотности и температуры газа Согласно уравнению (4) убыль кинетическои энергии вызывает прирос: теплосодержания и повышение температуры:

Отсюда относительное повышение теплосодержания при адиабатном течении со сжатием до полного затормаживания потока получается равным

Здесь величина пропорциональна квадрату скорости звука. [Действительно, по формуле (2) (стр 265) с другой стороны, следовательно,

Итак, относительное повышение теплосодержания зависит только от отношения начальной скорости газа к скорости звука в потоке до торможения газа.

Отношение скорости течения к скорости звука (от которого зависит изменение параметров газа при сжатии) называют числом Маха, или числом Берстоу, и обозначают символом М:

Вводя это обозначение в предыдущее уравнение, получаем

Когда изменения теплосодержания не слишком велики, так что теплоемкость можно считать постоянной, то

Все, что было сказано выше для течения с расширением, вследствие обратимости течения можно применить и к течению со сжатием, переменив только знаки скоростей (т. е. считая, например, для рис. 269, что течение происходит справа налево). Когда начальная скорость превосходит скорость звука, в сужающейся части сопла происходит торможение сверхзвукового потока В самом узком — критическом — сечении сопла скорость потока снижается до местной скорости звука, до величины скорости звука при той температуре, которая имеется в данном сечении (а температура в критическом сечении для течения со сжатием, понятно, больше начальной температуры). В расширяющемся участке сопла происходит дальнейшее торможение потока, при котором скорость понижается от звуковой до той или иной величины, иногда близкой к нулю, в зависимости от длины и геометрической формы сопла.

При больших начальных скоростях повышение температуры и увеличение давления при торможении намного превосходит те, которые имеют место при работе компрессоров. Так, для полета в стратосфере при давление при равновесном торможении повышается более чем в 150 раз, т. е. гораздо значительнее, чем в двигателе внутреннего сгорания. При давление при торможении повышается более чем в 5000 раз, а температура становится выше, чем внутри мартеновской печи. Боевые головки баллистических ракет для защиты от чрезмерного нагрева покрывают жаростойкими составами, которые при движении падающей ракеты в нижних слоях атмосферы частично оплавляются.

Когда газ затормаживается до полной остановки то по уравнению (12) при равновесном торможении получаются следующие значения для повышения температуры и давления: