§ 57. Энергия и собственная частота гармонических колебаний

По внешнему виду и по устройству колебательные системы (т. е. такие совокупности связанных между собой тел, которые способны, к колебательному движению) крайне разнообразны. Рассмотрим простейшую колебательную систему: гирька с массой подвешена на спиральной довольно жесткой пружине (рис. 128);

когда гирька выведена из положения равновесия, пружина действует на нее с силой пропорциональной смещению и направленной в сторону, противоположную

(для упрощения мы пренебрегаем тем небольшим растяжением пружины, которое вызывается весом гирьки). Множитель пропорциональности с, определяющий величину силы, вызывающей смещение, равное единице, носит название коэффициента возвращающей силы.

Рис. 128. Простейшая колебательная система.

Будучи выведена из положения равновесия, масса начнет совершать около этого положения простое гармоническое колебание; если внутреннее трение и сопротивление воздуха отсутствуют, то эти колебания будут продолжаться неопределенно долго. Энергия, сообщенная системе при начальном толчке, будет периодически преобразовываться: потенциальная энергия упруго деформированной пружины будет переходить в кинетическую энергию движущейся гирьки и обратно. По закону сохранения энергии сумма кинетической и потенциальной энергии 1) будет оставаться постоянной:

В момент, когда гирька проходит через положение равновесия вся энергия системы есть энергия кинетическая, и скорость имеет максимальное значение имакс; напротив, в любом из крайних Положений энергия системы переходит полностью в потенциальную. Поэтому

Но максимальное значение скорости согласно уравнению (4) равно произведению угловой частоты колебания со на амплитуду а:

Подставляя это в предыдущее уравнение, получим в согласии с уравнением (6):

Отсюда определяем угловую частоту:

т. е. угловая частота гармонических колебаний равна корню квадратному из коэффициента возвращающей силы, разделенного на массу тела.

Легко видеть, что весьма важная формула (8) получается также, если в дифференциальное уравнение колебательного движения подставить и вторую производную от х по т. е. а затем сократить обе части уравнения на что дает: .

Выражение (8) позволяет найти частоту и период колебания:

Для энергии колебания из выражений (7), (8) и (9) получаются нижеследующие формулы:

т. е. энергия гармонического колебания пропорциональна квадрату амплитуды, квадрату частоты и массе колеблющегося тела. Рассмотрим в качестве примера простой маятник — небольшое тело подвешенное на нерастяжимой нити длиной I (рис. 129), причем будем предполагать, что смещения маятника настолько невелики, что их можно отсчитывать по перпендикуляру, опущенному из центра тяжести маятника на прямую, совпадающую с отвесным положением нити.

Рис. 129. К расчету периода колебаний математического маятника.

Возвращающей силой будет та слагающая силы тяжерти ускорение силы тяжести), которая перпендикулярна к нити и направлена к начальному отвесному положению; слагающая, направленная вдоль нити, уравновешивается реакцией нити. Из рис. 129 видно, что интересующая нас слагающая веса маятника равна но так как то для возвращающей силы получается выражение следовательно, коэффициент возвращающей силы равен

Воспользовавшись общей формулой (9), находим период колебаний маятника:

Формула (11) показывает, что период колебания маятника не зависит от его массы. Это обстоятельство может на первый взгляд показаться неожиданным. Однако, если вспомнить, что возвращающая сила, обусловленная весом маятника, пропорциональна его массе, то станет понятным, каким образом величина исчезает из окончательного результата.

Выше мы рассматривали такие колебания, при которых колеблющееся тело движется по прямой линии. Но уже на примере маятника мы должны были бы, строго говоря, считаться с тем, что в данном случае центр тяжести массы движется не по прямой, но по дуге круга радиуса Только ограничившись малыми колебаниями, мы могли заменить отрезок дуги отрезком прямой и отсчитывать смещения не вдоль дуги, а вдоль перпендикуляра, опущенного на отвесную прямую, проходящую через точку подвеса. При малых размахах маятника связанная с этим ошибка не превышает долей процента.

В целом ряде случаев, хотя бы, например, в случае маятника обычных карманных часов, колеблющееся тело совершает не поступательное, но вращательное движение. (К числу таких колебаний относятся так называемые «крутильные колебания».) Простейшая система, способная совершать колебания с вращательным движением, — это насаженный на ось диск, скрепленный с пружиной таким образом, что повороту диска препятствует возвращающая сила, обусловленная закручиванием пружины. Пусть -момент инерции диска относительно оси, а -момент возвращающей силы, который будем считать пропорциональным углу поворота диска: Для периода колебаний такой колебательной системы справедлива формула

аналогичная формуле (9), с той разницей, что место массы занял момент инерции, а место коэффициента возвращающей силы — коэффициент возвращающего момента Формула (12) может быть получена путем рассуждений, не отличающихся от тех, с помощью которых была выведена формула (9).

Маятник, для которого верна формула (11), представляет собой точечную массу, подвешенную на невесомой нити. Однако действительный маятник (который мы в отличие от рассмотренного

выше «математического» маятника будем называть физическим маятником) представляет собой некоторое весомое тело, подвешенное в точке, не совпадающей с центром тяжести. Период колебаний физического маятника может быть найден с помощью формулы (12).

Рис. 130. К расчету периода колебаний физического маятника.

Обозначим по-прежнему через I момент инерции маятника относительно оси его вращения, через коэффициент возвращающего момента. Пусть, далее, означает расстояние центра тяжести тела от оси вращения (рис. 130). Возвращающая сила, возникающая при повороте маятника на угол будет а момент ее Еслиразмахи маятника невелики, то можно положить и тогда

Воспользовавшись теперь формулой (12), находим:

где Величину V принято называть приведенной длиной физического маятника. Смысл этого термина заключается в том, что математический маятник, имеющий длину, равную приведенной длине физического маятника, будет иметь тот же самый период.