§ 33. Некоторые теоремы о потенциале тяготения

Из определения понятия потенциала ясно, что перемещение внесенной в поле точечной массы по эквипотенциальной поверхности не сопряжено с затратой или получением работы. Отсюда мы заключаем, что вектор напряженности поля во всех точках поля направлен по нормали к поверхностям уровня (в противном случае проекция напряженности поля на какое-либо элементарное перемещение по поверхности уровня не была бы равна нулю и, следовательно, работа перемещения по поверхности уровня оказалась бы также не равней нулю).

Рис. 52. Поле тяготения двух шаров Пунктиром изображены сечения эквипотенциальных поверхностей, сплошные линии показывают направление напряженности поля. Масса большого шара в четыре раза превышает массу малого.

На рис. 52 показаны расположение поверхностей уровня и направление вектора напряженности поля тяготения, образованного двумя массивными шарами. Следует обратить внимание на то, что картина гравитационного поля сходна с картиной электрического поля одноименных зарядов; но при одинаковой картине поля в электрическом поле происходит отталкивание одноименных зарядов, а в гравитационном поле — притяжение масс.

Зная значение потенциала во всех точках поля тяготения, нетрудно вычислить напряженность поля. Действительно, представим себе, что через интересующую нас точку поля проведена эквипотенциальная поверхность Проведем рядом вторую эквипотенциальную поверхность где потенциал на бесконечно малую величину меньше Пусть от рассматриваемой точки поля эта вторая эквипотенциальная поверхность удалена (по нормали к первой поверхности) на расстояние Напряженность поля есть сила, действующая на точечную массу в помещенную в рассматриваемую точку поля, а убыль потенциала ( есть работа, производимая тяготением при перемещении массы в стало быть,

или

Производную от потенциала по длине перемещения (в направлении нормали к поверхности уровня) называют градиентом потенциала. Градиент потенциала

рассматривают как вектор, направленный в сторону наибольшего возрастания потенциала. Мы видим, что напряженность поля численно равна градиенту потенциала, но направлена в сторону, противоположную градиенту потенциала, т. е. в сторону убывания потенциала. Если бы при перемещении по нормали к поверхностям уровня изменение потенциала происходило равномерно, то напряженность поля была бы равна убыли потенциала, приходящейся на 1 см.

О напряженности в различных точках поля можно судить по тому, насколько близко распложены друг к другу поверхности уровня, потенциалы которых отличаются на единицу потенциала, т. е. на Действительно, положив в формуле мы видим, что напряженность поля в различных точках поля обратно пропорциональна удаленности поверхностей уровня, отличающихся на единицу потенциала.

Когда напряженность поля имеет во всех точках одно и то же направление и одинаковую величину, то такое поле называют однородным. Иначе говоря, однородным является такое поле, в котором градиент потенциала всюду имеет одинаковое значение и направление. Близ поверхности Земли поле силы тяжести приближенно можно считать однородным.

Теория поля и теория потенциала подробно излагаются в теоретической физике. Стройное и строгое освещение относящихся сюда вопросов требует широкого применения векторного анализа и интегрального исчисления (интегралы, распространенные по объему, по поверхности, по линии). Некоторые из приводимых ниже теорем теории потенциалов можно вывести, основываясь на одной элементарной математике, но такие доказательства являются искусственными и громоздкими; поэтому мы не воспроизводим здесь этих выводов.

1. Как уже упоминалось в § 29, однородный по плотности сферический слой, а также однородный по плотности шар образуют поле тяготения, которое во всех внешних точках таково, как если бы вся масса была сосредоточена в центре сферического слоя или в центре шара.

Рис. 53. Величина напряженности поля тяготения на различных расстояниях от центра однородного сплошного шара (масштаб ординаты условен).

2. В полости, окруженной тонким, однородным по плотности сферическим слоем, потенциал всюду одинаков:

где масса сферического слоя, радиус сферического слоя. Напряженность поля тяготения в полости, окруженной сферическим слоем, равна нулю (на массу, внесенную внутрь сферического слоя, никакая сила не действует).

3. Внутри шара однородной плотности потенциал убывает при перемещении от поверхности шара к центру; на поверхности шара потенциал равен

Где суммарная масса шара, радиус шара. При перемещении в центр

шара потенциал убывает на половину указанной величины, т. е. в центре шара потенциал равен

В какой-либо точке внутри шара однородной плотности на расстоянии от его центра потенциал тяготения определяется формулой

Напряженность поля тяготения внутри шара однородной плотности всюду направлена к центру и определяется формулой

Следовательно, каждая частица шара притягивается к центру шара с силой, пропорциональной расстоянию частицы от центра шара (рис. 53).