§ 89. Средний свободный пробег газовых молекул

Для характеристики теплового движения в газах во многих случаях весьма важно знать величину свободного пробега, т. е. среднюю длину пути молекулы между двумя соударениями, и среднее число соударений, испытываемых одной молекулой в 1 сек.

Рис. 192. К вычислению средней длины пути молекулы газа.

Чтобы вычислить среднюю длину пути, рассуждаем следующим образом. Движущаяся молекула столкнется в течение 1 сек. со всеми теми молекулами газа, центры которых расположены внутри цилиндрического объема, описанного по пути движения молекулы и имеющего радиус, в два раза превышающий радиус молекулы (рис. 192); объем этот равен число молекул, центры которых должны находиться в указанном объеме, равно где среднее число молекул газа в Таким образом, если бы все остальные молекулы, кроме рассматриваемой, были неподвижны, то среднее число соударений испытываемых молекулой в 1 сек., было бы равно:

В действительности среднее число соударений должно быть больше полученной нами величины, так как вследствие движения окружающих молекул рассматриваемая молекула испытала бы некоторое число соударений даже в том случае, если бы сама она оставалась в течение данной секунды неподвижной. Точный подсчет показывает, что полученный нами результат должен быть увеличен в раз.

Итак,

Если свободный пробег мы обозначим через 1, то очевидно, что

Сопоставляя эту формулу с предыдущей формулой, находим, что

Если есть число молекул газа, содержащихся в объеме то очевидно, что Подставляя это выражение для в предыдущую формулу и обозначая собственный объем молекул через V

получаем:

Мы видим, таким образом, что отношение свободного пробега I к радиусу молекулы равно отношению всего объема, занимаемого газом, к учетверенному собственному объему его молекул.

Приводимая таблица содержит некоторые числовые данные для ряда газов, взятых при нормальных условиях.

Некоторые молекулярные характеристики для ряда газов при

(см. скан)

При нормальном давлении и 0°С свободный пробег молекул водорода составляет примерно одну десятитысячную долю миллиметра. По формуле (25) свободный пробег возрастает пропорционально удельному объему, т. е. в случае неизменной температуры обратно пропорционально давлению. Стало быть, при давлении в т. е. свободный пробег молекул водорода равен а при давлениях порядка свободный пробег достигает величины нескольких сантиметров. Приводим средние

величины свободных пробегов молекул воздуха при нормальной температуре и различных давлениях:

Бели сопоставлять средние свободные пробеги молекул какого-либо газа при одинаковых давлениях, но разных температурах, то по формуле (25) свободный пробег должен бы возрастать пропорционально температуре (поскольку при пропорционально температуре возрастает удельный объем).

Здесь следует, однако, вспомнить сказанное на стр. 328 о некоторой условности величины радиуса молекул: чем интенсивнее происходит соударение молекул, тем больше сближаются молекулы в момент удара, т. е. тем меньше их «эффективный радиус». Проявление молекулярных сил притяжения сказывается при соударении молекул в искривлении траекторий молекул (подобно движению кометы, которая, приблизившись к Солнцу по одной ветви гиперболы и обогнув Солнце, удаляется по другой ветви гиперболы). Уподобляя молекулы маленьким упругим шарикам и заменяя этим весьма упрощенным представлением действительную сложную картину притяжения и отталкивания молекул при их соударениях, мы должны считать эффективный радиус молекул несколько убывающим при повышении температуры.

Указанное влияние температуры газа на эффективный радиус молекул, как показал Сезерленд в 1893 г., можно определить формулой

Здесь С — некоторая характерная для газа константа. Для воздуха для кислорода для водорода для углекислоты

В соответствии с формулой Сезерленда, если через обозначить свободный пробег, вычисленный по формуле (25) при наибольшем значении эффективного радиуса молекул величина свободного пробега при температуре будет:

(при т. е. при неизменной плотности газа).

Таким образом, свободный пробег молекул зависит от температуры двояко: через удельный объем и, как было только что пояснено, через эффективный радиус молекул. В итоге свободный пробег молекул газа при неизменном давлении и при повышении температуры возрастает быстрее, чем температура; в некоторых интервалах температур он приближенно пропорционален

Очевидно, что вследствие случайности молекулярных столкновений истинные свободные пробеги молекул газа могут быть весьма различными — и большими, и меньшими, чем Клаузиус показал, что в среднем число частиц которым удается пролететь без столкновения путь х, составляет от общего числа частиц долю

При по формуле Клаузиуса т. е. около Стало быть, в газе преобладают истинные свободные пробеги меньшие, чем средний пробег а; только примерно молекул проходит без соударений пути, большие, чем