§ 23. Закон сохранения энергии в консервативных системах. Минимум потенциальной энергии при равновесии

Работа силы тяжести, как было пояснено в § 19, не зависит от пути перемещения тела с одного уровня на другой. Работа сил тяготения вообще не зависит от пути перемещения. Точно так же не зависит от пути перемещения и работа сил электростатического взаимодействия наэлектризованных тел.

Силы взаимодействия, работа которых не зависит от пути перемещения тел, называют консервативными силами (от латинского conservare, что значит «сохранять»).

Это название имеет следующий смысл: в механических системах, где действуют одни только консервативные силы (в консервативной системе), сумма кинетической и потенциальной энергий всегда остается неизменной. Иначе говоря, в консервативной системе при ее движении может происходить превращение кинетической энергии только в потенциальную энергию или же потенциальной в кинетическую, но не в какие-либо другие виды энергии.

Таким образом, консервативная система являет собой пример системы, где движение всегда остается механическим движением и не превращается в более сложные формы движения. В действительности во всех механических системах наряду с консервативными силами действуют и неконсервативные силы (например, трение). Кроме того, не следует забывать, что потенциальная энергия представляет собой скрытые формы движения, более сложные, чем механическое движение. Поэтому механический закон сохранения энергии в консервативных системах не имеет такого (всеобщего) значения, как универсальный закон сохранения энергии, указывающий на превращаемость всех видов энергии друг в друга.

Закон сохранения энергии в консервативных системах можно вывести из законов Ньютона. Исходим из уравнений движения

Напишем эти уравнения для всех материальных точек механической системы. Умножим первое из этих уравнений для первой материальной точки на аналогичное уравнение для второй материальной точки умножим на каждое второе уравнение умножим соответственно на каждое третье — на Сложим теперь все эти уравнения; получаем:

Здесь 2 означает, что берется сумма написанных выражений для всех материальных точек, Каждый из членов, стоящих в правой части, преобразуем следующим образом:

Это произведение представляет собой дифференциал величины Учитывая это, а также принимая во внимание, что

предыдущее уравнение можно переписать так:

(Массы мы считаем неизменными; на этом основании величины мы заменили через в случае масс, изменяющихся во время движения, мы должны были бы исходить из уравнений (1), где под знаком дифференциала находится количество движения, а не скорость.)

В правой части вышеприведенного уравнения мы имеем изменение кинетической энергии системы за время Поэтому правую часть уравнения можно обозначить где кинетическая энергия системы. Что же касается левой части уравнения, то это есть работа производимая всеми материальными точками системы за время Когда силы консервативны, эта работа однозначно определяется положением материальных точек до и после перемещения за время и поэтому может быть выражена как убыль потенциальной энергии. Таким образом, вышеприведенное уравнение для консервативных систем приобретает такой вид:

или

или, наконец, что то же:

Итак, изменение суммы кинетической и потенциальной энергий консервативной системы за любой бесконечно малый промежуток времени а значит, и за любой конечный промежуток времени равно нулю. Иначе говоря, полная энергия консервативной системы

(сумма кинетической и потенциальной энергий) остается при движении системы неизменной:

Так, например, потенциальная энергия тяжести какого-либо тела при падении тела убывает на столько, на сколько при этом возрастает кинетическая энергия тела. Потенциальная энергия тела, брошенного вверх, по мере подъема тела возрастает на величину, равную убыли кинетической энергии. Подъем тела, брошенного вверх, прекращается, когда вся кинетическая энергия превращается в потенциальную.

При каждом качании маятника, когда маятник достигает крайнего отклонения, вся кинетическая энергия маятника превращается в потенциальную; при свободном качании маятника полная энергия маятника во всех его положениях одинакова.

Затухания колебаний маятника, так же как и потеря некоторой доли кинетической энергии у тела, брошенного в воздухе вверх, когда оно опускается до первоначального уровня, объясняются влиянием сил трения, вследствие которых ни одна механическая система в действительности не является вполне консервативной. Однако такие системы, как, например, солнечная система (движение планет вокруг Солнца), можно с чрезвычайно большой степенью точности считать консервативными системами.

Докажем весьма важную теорему, что состоянием устойчивого равновесия изолированной консервативной системы является такое состояние, в котором потенциальная энергия системы минимальна.

По закону сохранения энергии, полная энергия консервативной системы, слагающаяся из ее кинетической энергии и потенциальной энергии должна оставаться неизменной:

Кинетическая энергия есть всегда величина положительная. Поэтому, если в начальный момент все тела, составляющие рассматриваемую нами систему, были неподвижны, то движение может возникнуть только вследствие уменьшения потенциальной энергии, причем убыль потенциальной энергии будет равна возникшей кинетической энергии. Если же в начальный момент потенциальная энергия была минимальна (что имеет место, когда любое перемещение тел в новое их положение приводит к увеличению потенциальной энергии), то тогда, очевидно, не может произойти возрастание кинетической энергии, и движение, отсутствовавшее в начальный момент, никогда не возникнет; система будет пребывать в устойчивом равновесии, из которого она может быть выведена только действием внешних сил.

В частном случае, когда имеется одно какое-либо тело, находящееся под действием силы тяжести, можно утверждать, что состоянию устойчивого равновесия будет соответствовать наинизшее положение центра тяжести тела; в противном случае потенциальная энергия тяжести не была бы минимальной.