§ 4. Тангенциальное и центростремительное ускорения

При исследовании механического движения часто оказывается весьма удобным разлагать вектор ускорения точки на два геометрических слагаемых: на ускорение по касательной к траектории этой точки и на ускорение по главной нормали. Докажем прежде всего, что не существует третьей слагаемой вектора ускорения в направлении третьей взаимно перпендикулярной оси (в направлении так называемой бинормали).

Рис. касательная, главная нормаль, бинормаль.

Два следующих друг за другом элементарных перемещения имеют общую точку, являющуюся концом первого перемещения и началом второго. Представим себе, что через эту общую их точку и через точки, являющиеся началом вектора и концом вектора проведена плоскость. Такая плоскость носит название соприкасающейся плоскости (рис. 8); ее можно определить также как плоскость, проведенную через касательные к траектории в двух бесконечно близких друг к другу точках. Так как вектор скорости постоянно имеет направление касательной к траектории, то очевидно, что оба вектора скорости в моменты времени лежат в одной плоскости и именно в упомянутой соприкасающейся плоскости; следовательно, и геометрическое приращение скорости определяющее направление вектора ускорения лежит в той же плоскости.

Плоскость, проведенную перпендикулярно к касательной и проходящую через точку касания, называют нормальной плоскостью.

Из бесчисленного множества нормалей, т. е. прямых, перпендикулярных к касательной в точке касания (все они лежат в нормальной плоскости), выделим две: одна из них лежит в соприкасающейся плоскости, эту прямую называют главной нормалью, другая перпендикулярна к ней, это — так называемая бинормаль (рис. 8). Поскольку вектор ускорения лежит в соприкасающейся плоскости, а бинормаль пересекает эту плоскость под прямым углом, то ясно, что проекция вектора ускорения на бинормаль всегда равна нулю. Поэтому

всегда имеется возможность представить вектор ускорения как геометрическую сумму двух его компонентов: ускорения в направлении касательной и ускорения в направлении главной нормали.

Пусть (рис. 9) представляют собой положения материальной точки, ее скорости в два соседних бесконечно близких момента времени. Найдем изменение скорости за этот бесконечно малый промежуток времени Для этого перенесем вектор параллельно самому себе в точку (изобразив его отрезком и соединим концы векторов Вектор и представит геометрическое приращение скорости за время

Разложим теперь вектор на два составляющих, как показано на рис. 9. Мы получим параллелограмм, в котором диагональю является изменение скорости стороны этого параллелограмма мы обозначим

Рис. 9. Разложение вектора на компоненты

Вектор характеризует изменение скорости только по величине; он численно равен приращению численного значения скорости направлен этот вектор по касательной к траектории, Деля на получим тангенциальное ускорение

Так как численное значение скорости равно производной первого порядка от длины пути I по времени, то из формулы (11) следует, что тангенциальное ускорение равно производной второго порядка от длины пути по времени:

Рассмотрим теперь вектор (или, что то же, вектор, изображаемый отрезком В А). Он характеризует изменение скорости по направлению.

Через точки (рис. 9) проведем перпендикуляры к скоростям Они пересекутся в некоторой точке О. Бесконечно малую дугу кривой можно рассматривать как дугу окружности радиуса Окружность, дуга которой совпадает с элементом кривой в данной точке (окружность, проведенную через три бесконечно близкие точки кривой), называют кругом кривизны, радиус этого круга называют радиусом кривизны, а центр этого круга — Центром кривизны. Понятно, что для различных участков кривой радиус кривизны будет, вообще говоря, неодинаков.

Сопоставим треугольники и Они подобны, так как оба равнобедренны и имеют равные углы при вершинах, поэтому

В пределе поэтому

где обозначает предельное значение т. е. центростремительное ускорение, определяемое изменением скорости только по направлению.

Предельное направление ВА, а значит, и направление центростремительного ускорения совпадает с направлением главной нормали к траектории.

Таким образом, при движении материальной точки по криволинейной траектории вектор ускорения геометрически слагается из ускорения тангенциального, численно равного и направленного по касательной, и центростремительного, численно равного и направленного по главной нормали к центру кривизны.

Следовательно, численное значение полного ускорения может быть выражено формулой

В частном случае при равномерном движении материальной точки по окружности тангенциальное ускорение равно нулю, а центростремительное ускорение направлено к центру окружности и равно отношению квадрата скорости к радиусу окружности.