§ 58. Сложение колебаний одинаковой частоты и одинакового направления (интерференция колебаний)

Материальная точка может одновременно участвовать в нескольких гармонических колебаниях. Смещение точки в какой-либо - момент времени определяется при этом геометрической (векторной) суммой смещений, которые точка получает, участвуя в каждом из колебательных движений в отдельности. Результирующее движение точки, одновременно участвующей в нескольких колебаниях, является сложным движением, однако в большинстве практически интересных случаев это результирующее движение также является колебательным. Таким образом, можно говорить о сложении нескольких колебаний в одно результирующее.

Рассмотрим несколько примеров подобного сложения колебаний.

Положим сначала, что речь идет о сложении двух колебательных движений, происходящих в одном и том же направлении, причем смещения, получаемые точкой в каждом из колебаний, складываются, очевидно, алгебраически. Положим, далее, что оба колебания происходят с одной и той же угловой частотой (т. е. с одним и тем же периодом), но с различными начальными фазами В соответствии с формулами (1) и (3) напишем уравнения колебательных движений в следующем виде:

Рис. 131. Векторная диаграмма сложения двух колебаний одинаковой частоты.

Для вывода уравнений, определяющих результирующее колебание, совместим векторные диаграммы (рис. 126) двух рассматриваемых колебаний в одну диаграмму (рис. 131). Результирующее смещение получается проектированием на вертикальный диаметр векторов-амплитуд т. е. для любого момента времени оно равно проекции на ту же ось вектора а, представляющего геометрическую сумму Таким образом, очевидно, что уравнение результирующего колебания имеет вид

где, как это следует из рис. 131,

Рассмотренный случай сложения гармонических колебаний одинаковой частоты и одинакового направления смещений называют интерференцией колебаний.

Энергия гармонического колебания, как мы видели [формула (10)], пропорциональна квадрату амплитуды, поэтому энергия результирующего колебания только в том случае будет равна сумме энергий слагаемых колебаний, если

Такое соотношение между амплитудой результирующего колебания и амплитудами слагаемых колебаний имеет место, как

показывает формула (16), только тогда, когда фазы слагаемых колебаний отличаются на величину или на или вообще на величину где нуль или какое-либо целое число.

Когда разность фаз — или вообще то говорят, что колебания находятся в противоположных фазах. Действительно, в этом случае

Если фазы слагаемых колебаний противоположны и амплитуды равны то сложение колебаний приводит к покою

Рис. 132. Интерференция колебаний с одинаковыми амплитудами и с фазами: одинаковыми (а), разными (б) и противоположными (в).

Когда разность фаз — или вообще где любое целое число, то говорят, что колебания совпадают по фазе. В этом случае из формулы (16) следует, что

При совпадении фаз и равенстве амплитуд амплитуда результирующего колебания в два раза превышает амплитуду каждого из складываемых колебаний, и, следовательно, энергия результирующего колебания в четыре раза превышает энергию каждого из складываемых колебаний.

На рис. 132 приведены три случая интерференции колебаний с одинаковой амплитудой, но с разными фазами (синусоида результирующего колебания построена посредством алгебраического суммирования ординат слагаемых синусоид).