§ 51. Вязкость и течение жидкости при трении

Чтобы установить меру вязкости, представим себе следующий опыт: возьмем две пластинки, смоченные какой-либо жидкостью (рис. 99), и станем перемещать верхнюю пластинку относительно нижней в направлении, указанном стрелкой. Слои жидкости, непосредственно соприкасающиеся с этими пластинками, прилипают к ним, все же остальные слои перемещаются, скользят друг по другу со скоростью тем большей, чем больше их расстояние от пластинок. Вязкость жидкости сказывается в том, что возникает сила, препятствующая перемещению слоев жидкости, а значит, и пластинок.

Рис. 99. К рассмотрению внутреннего трения жидкостей.

Проведем ось перпендикулярно к слоям (а значит, и к скоростям движения слоев). Производная от скорости слоев называется градиентом скорости. Если скорость слоев равномерно возрастает с увеличением координаты то градиент скорости является постоянным для всей массы жидкости или газа и может быть выражен также через где — скорости перемещения каких-нибудь двух тонких слоев, их расстояние друг от друга (рис. 99).

Ньютон установил для силы вязкости следующий закон:

где 7) называется коэффициентом вязкости, или коэффициентом внутреннего трения (обратная величина носит название коэффициента текучести), площадь соприкасающихся слоев.

Сила вязкости стремится остановить тот из двух смежных слоев, который движется быстрее, и ускорить тот, который движется медленнее (аналогично тому, что бывает при скользящем трении твердых тел).

Коэффициент вязкости показывает, скольким динам должна быть равна сила, чтобы в слое жидкости, имеющем толщину 1 см и площадь эта сила двигала верхнюю поверхность слоя относительно нижней со скоростью 1 см/сек. Единицу вязкости , или, что то же, , называют пуазом.

Приборы, служащие для измерения вязкости жидкостей и газов, носят название вискозиметров. Для определения вязкости наблюдают: течение жидкости через узкую капиллярную трубку (вискозиметр Пинкевича); относительное вращение двух цилиндров, пространство между которыми заполнено вязкой средой (вискозиметры Воларовича); падение шарика в вязкой среде.

Коэффициент вязкости, как показывает опыт, колеблется для разных веществ в широких пределах и зависит от температуры. Ниже приведены коэффициенты вязкости некоторых жидких и газообразных веществ (в пуазах) при 18° С:

При течении жидкости по трубе некоторая часть ее энергии расходуется на работу против сил трения и превращается в энергию молекулярно-теплового движения. Поэтому, можно написать,

приняв во внимание сказанное в § 49:

Течение при трении бывает или слоистым — ламинарным, или турбулентным. При ламинарном течении слои жидкости скользят друг по другу со скоростями, увеличивающимися по мере удаления от стенок сосуда. Особенно удобно наблюдать ламинарное течение в узкой стеклянной трубке (рис. 100, а). Пока течение имеет слоистый характер, струя краски, пущенная в трубку, остается резко ограниченной. При увеличении скорости наступает такой момент, когда течение переходит в турбулентное: резкая граница между чистой и подкрашенной жидкостью исчезает, и вся трубка оказывается заполненной неправильными вихревыми движениями (рис. 100, б). Скорость, при которой ламинарное течение превращается в турбулентное, называют критической скоростью.

Рис. 100. Ламинарное (а) и турбулентное (б) течения вдоль трубки.

При установившемся течении жидкости по горизонтальной трубе, имеющей всюду одинаковое сечение, скорость является наибольшей в тех точках поперечного сечения потока, которые наиболее удалены от стенок трубы. Частицы жидкости, непосредственно прилегающие к стенкам трубы, остаются неподвижными. На рис. 101 показано, как распределены скорости в трубе при ламинарном течении. Если радиус трубы есть то скорость на расстоянии х от центра поперечного сечения трубы равна:

где К — коэффициент пропорциональности, зависящий от падения давления на единицу длины трубы и от вязкости жидкости Приведенное уравнение представляет собой уравнение параболы, которая на рис. 101 изображена пунктиром; поэтому говорят, что скорости ламинарного течения в трубе распределены по параболическому закону.

При турбулентном течении (рис. 102) скорость течения, как показывает опыт, пропорциональна примерно корню седьмой степени из расстояния от стенки:

(при шероховатых стенках степень корня ниже, например шестая или пятая).

Одномолекулярный слой жидкости, непосредственно прилегающий к стенкам, и при турбулентном течении остается неподвижным; в смежном тонком слое сохраняется ламинарное течение жидкости.

Практически важной является средняя скорость течения жидкости по трубе. Очевидно, что количество жидкости протекающей в 1 сек. через поперечное сечение трубы равно произведению средней скорости течения на площадь поперечного сечения:

Экспериментально изучая скорость течения жидкостей по трубам, Гаген (в 1839 г.) и независимо от него Пуазель (в 1841 г.) нашли, что средняя скорость ламинарного течения жидкости по трубе пропорциональна падению давления на единицу длины трубы, пропорциональна квадрату радиуса трубы и обратно пропорциональна коэффициенту вязкости:

Рис. 101. Параболическое распределение скоростей при ламинарном течении в трубе.

Рис. 102. Распределение скоростей при турбулентном течении в трубе.

Поскольку а для круглой трубы то легко видеть, что закон Гзгена — Пуазеля можно переписать так:

Закон Пуазеля можно вывести теоретически из уравнения Ньютона (3).

При турбулентном течении скорость течения пропорциональна не первой степени падения давления, а корню квадратному из падения давления.

Это — формула Шези. Величину входящую в формулу Шези, называют коэффициентом сопротивления течению жидкости.

Формула Шези применима для труб любого сечения, а также и для открытых русел; в этом случае в вышеприведенной формуле Шези радиус трубы нужно заменить так называемым гидравлическим радиусом который представляет собой отношение площади поперечного сечения потока к «смачиваемому периметру» (для открытого потока ширина свободной поверхности в смачиваемый периметр не входит).

Чтобы не оперировать с двумя различными законами течения жидкости по трубе (законом Пуазеля и формулой Шези), иногда пользуются формулой Шези

не только для турбулентного, но также и для ламинарного течения. Это допустимо, если считать, что для ламинарного течения коэффициент сопротивления течению I равен:

(нетрудно убедиться, что подстановка этого выражения для X в формулу Шези превращает формулу Шези в закон Пуазеля). Следовательно, для ламинарного течения коэффициент сопротивления убывает с увеличением скорости; для турбулентного течения X почти не зависит от скорости.