§ 49. Уравнение Бернулли

Проследим течение жидкости в трубке тока. Поперечное сечение трубки тока в различных местах может быть неодинаковым, и в соответствии с этим меняется скорость течения. Струя жидкости нигде не претерпевает разрыва. Из этого условия неразрывности струи следует, что произведение скорости несжимаемой и невязкой жидкости на поперечное сечение трубки тока есть величина постоянная.

Действительно, объем жидкости, втекающей за 1 сек. в один конец трубки тока, должен быть равен объему жидкости, вытекающей из противоположного конца (рис. 89):

Это уравнение справедливо для любых двух сечений трубки тока; следовательно,

Пусть за время масса жидкости втекает в один конец выделенной части трубки через сечение где скорость и давление За то же время t через другое сечение трубки тока где скорость жидкости равна и давление вытекает такая же масса жидкости При установившемся (стационарном) течении в выделенной части трубки не происходит ни накапливания, ни расходования энергии.

Рис. 89. К выводу уравнения Бернулли

Следовательно, энергия, передаваемая за время через сечение должна быть равнаэнергии, передаваемой за то же время через сечение За время через сечение проходит масса жидкости Ее кинетическая энергия равна и потенциальная энергия тяжести равна ускорение силы тяжести и высота центра тяжести сечения над некоторым уровнем, например уровнем моря). Стало быть, за время через сечение конвекционно передается энергия

Однако, кроме конвекционной передачи энергии, в данном случае еще имеет место передача энергии тягой, а именно, жидкость, находящаяся позади, производит работу, направленную на продвижение жидкости, находящейся впереди. Энергия, передаваемая тягой за время через сечение равна, очевидно, работе, которую жидкость, находящаяся позади сечения производит за время

т. е. равна произведению силы на путь Таким образом, энергия, передаваемая за время через сечение состоит из трех слагаемых:

Из таких же слагаемых состоит энергия, передаваемая за время через сечение Поскольку в выделенной части трубки не происходит ни накапливания, ни расходования энергии, то, очевидно, должно существовать равенство

Согласно условию неразрывности струи объем жидкости, втекающей в трубку за время т. е. равен объему жидкости, вытекающей за тот же промежуток времени из трубки тока: Разделим обе части предыдущего уравнения на эти равные друг другу объемы, учтя, что масса жидкости, деленная на ее объем, представляет собой плотность жидкости Получаем уравнение, или теорему, Бернулли:

В этом уравнении давление выражают в , высоту в сантиметрах, плотность и скорость

В технической системе единиц давление выражают в или в миллиметрах водяного столба, высоту в метрах, плотность в технических единицах массы на куб. метр (для этого выраженное в делят на 9,81), скорость выражают в

В суженной части трубки тока скорость жидкости больше, чем в остальном потоке. Поступая в узкую часть трубки тока, жидкость двигается ускоренно; следовательно, на жидкость, втекающую в узкую часть трубки тока, действует со стороны жидкости, еще находящейся в широкой части трубки, некоторая сила.

Очевидно, что эта сила возникает вследствие разности статических давлений в широком и узком местах трубки. Сила направлена в сторону узкой части трубки; значит, в широких местах трубки давление больше, чем в узких. Иными словами, в местах сужения трубки тока давление понижено (рис. 90).

Величину тоже имеющую, как нетрудно убедиться, размерность давления, называют динамическим давлением. Мы видим,

что при горизонтальном течении жидкости сумма статического и динамического давлений остается величиной постоянной. Эту сумму называют полным давлением.

Принципиально статическое давление надо измерять с помощью манометра, неподвижного относительно текущей жидкости. Практически бывает достаточно взять манометр, плоскость отверстия которого расположена параллельно линиям тока (трубка на рис. 91). Полное давление измеряют манометром, отверстие которого расположено перпендикулярно к линиям тока (трубка В на рис. 91); попав в отверстие, жидкость «теряет» свою скорость; динамическое давление в этой трубке будет равно нулю, оставшееся статическое давление будет равно сумме статического и динамического давлений текущей жидкости, следовательно, манометр покажет полное давление. Изображенная на рис. 91 трубка В носит название трубки Пито. Понятно, что изображенные на рис. 91 манометрические трубки могут быть заменены трубками, отведенными от текущей жидкости к металлическому манометру.

Рис. 90. В сужении статическое давление по уравнению Бернулли меньше, чем в расширенной части трубки.

Рис. 91. Расположение манометрических трубок для измерения статического и полного давлений.

Уравнение Бернулли было нами выведено в предположении, что сумма кинетической энергии и потенциальной энергии тяжести текущей жидкости остается неизменной. В действительности же некоторая часть указанной энергии расходуется на работу, направленную против сил трения. В связи с этим жидкость нагревается, и энергия молекулярно-теплового движения жидкости, которую мы считали постоянной и поэтому не учитывали, возрастает. Мы предполагали также, что частицы жидкости не проходят сквозь боковую поверхность трубки тока. В действительности же тепловое движение нарушает течение жидкости по определенным линиям тока.

Поэтому к весьма вязким жидкостям уравнение Бернулли неприменимо. Но для таких жидкостей, как вода, а также и для воздуха уравнение Бернулли практически является достаточно точным.

При горизонтальном течении сумма статического и динамического давлений остается постоянной величиной, поэтому в струе статическое давление всегда бывает меньше, чем в неподвижной жидкости,

и при больших скоростях может стать даже отрицательным. В этой случае жидкость, протекающая по узкой части трубы, будет нахо диться в состоянии всестороннего растяжения, а так как прочности жидкости на разрыв велика (§ 113), то отрицательное давление может достигнуть значительной величины. Обычно, однако, когда давление падает до нуля, происходит разрыв жидкости — это так на зываемое явление кавитации. Кави тация ограничивает скорости, которые могут быть приданы жидкости сужением струи.

Если давление в широкой части трубы равно атмосферному, тодавле ние в узкой части будет меньше атмосферного. На этом явлении осно вано действие ряда приборов, например инжектора, водоструйны: насосов, карбюратора.

Инжектором называют пароструйный насос, служащий для питания водо паровых котлов паровозов, пароходов, локомобилей и т. д. На рис. 92 изображе простейший инжектор. К инжектору подводится из котла пар, который, пройдет через сопло, поступает с большой скоростью в смеситель. Благодаря засасывающему действию струи, а также конденсации пара давление в смесителе понижается в него устремляется вода из коробки инжектора.

Рис. 92. Инжектор.

Рис. 93. Водоструйный насос.

Рис. 94. Карбюратор,

Из смесителя струя воды с большой скоростью входит в расширяющийся диффузор, теряет свою скорость, давление в диффузоре резко повышается, становится выше, чем в котле, вследствие чего приподнимается обратный клапан и вода поступает в котел. Между смесителем и диффузором оставляют щель а, через которую при пуске инжектора выходят избыточные вода и пар. При пуске инжектора требуется меньше пара чем при работе полным ходом? поэтому сопло снабжено регулирующей иглой.

По этому же принципу работает паровозный конус, создающий сильную тяру в дымовой трубе.

Водоструйные насосы служат для получения небольшого разрежения (рис. 93). Давление в струе на выходе из насоса равно атмосферному; поэтому в суженной части струи и в резервуаре А создается разрежение. Труба В присоединяется к резервуару, из которого следует выкачать воздух.

Водоструйные насосы применяются в качесгве воздушных насосов в конденсаторных установках при паровых турбинах, в лабораториях и т. д. И водо- и пароструйные насосы очень надежны в работе, но коэффициент полезного действия их чрезвычайно мало поэтому применяются они в тех случаях, когда есть большое количество пара (отработанный пар) или воды, которое почему-либо нельзя использовать более экономично.

Карбюратором называется прибор, питающий бензиновый двигатель внутреннего сгорания рабочей смесью — смесью горючего с воздухом. Устройство карбюратора изображено на рис. 94. По трубе наружный воздух всасывается в цилиндр мотора. В суженной части трубы — в начале диффузора — создается пониженное давление, и бензин из поплавковой камеры, где давление равно атмосферному, через калиброванную трубочку (жиклер) вытекает в диффузор и испаряется в проходящем воздухе. Для того чтобы бензин не выливался через жиклер самотеком, в поплавковой камере имеется поплавок, с которым соединена игла, закрывающая доступ бензину из бака, как только уровень его поднимется выше отверстия жиклера. Дроссельная заслонка регулирует скорость воздуха, а вместе с тем и количество поступающего в мотор бензина.