§ 43. Модуль Юнга, коэффициент Пуассона, модуль сдвига и соотношение между ними

При продольном растяжении растягивающие силы равномерно распределены по поперечному сечению испытываемого образца, поэтому напряжение находим простым делением:

Отношение напряжения к относительному удлинению носит название модуля упругости, или модуля Юнга:

Подставляя сюда получим:

т. е. удлинение прямо пропорционально действующей силе и первоначальной длине образца и обратно пропорционально модулю Юнга для данного материала и поперечному сечению образца.

Значения модуля Юнга для различных материалов приведены в таблице на стр. 179. Для одного и того же материала величина зависит от примесей и обработки. У кристаллов и волокнистых веществ величина зависит от направления растяжения.

Когда нагрузкой вызвано удлинение бруска, можно наблюдать, что по истечении некоторого промежутка времени удлинение само, без увеличения нагрузки, возрастет на некоторую небольшую величину. Когда нагрузка устранена, то можно наблюдать, что для полного исчезновения деформации даже в пределах упругости также требуется некоторый промежуток времени. Это явление называют упругим последействием. Величина упругого последействия в металлах при тех напряжениях, с которыми приходится иметь дело в технике, ничтожна. Как правило, упругое последействие тем меньше, чем однороднее материал.

Растяжение брусков сопровождается их поперечным сжатием. Отношение поперечного сжатия к продольному удлинению называют коэффициентом Пуассона поперечный размер бруска). Таким образом, поперечное сжатие равно продольному удлинению, умноженному на коэффициент Пуассона:

Зная можно судить об изменении объема бруска при растяжении в пределах пропорциональности.

Коэффициент Пуассона

(см. скан)

Рис. 78. Деформация сдвига.

Сдвигом называют такую деформацию, при которой все слои тела, параллельные данной плоскости, не искривляясь и не изменяясь в размерах, смешаются параллельно друг другу (рис. 78). Отрезок называют абсолютным сдвигом, угол — углом сдвига. При малом угле сдвига (если выражен в радианах)

поэтому угол О часто называют относительным сдвигом

Обычно сдвиг вызывается двумя парами сил, приложенными, как показано на рис. 78, к противоположным граням деформируемого тела.

Согласно закону Гука относительный сдвиг должен быть пропорционален касательному напряжению

Коэффициент носит название модуля сдвига. На рис. 78 отчетливо видно, что все слои деформируемого образца, параллельные укорачиваются в этом направлении, а слои, параллельные удлиняются в направлении

Сдвиг может быть вызван одновременным сжатием в направлении диагонали и растяжением в перпендикулярном к ней направлении

Можно показать, что относительное удлинение или укорочение образца в направлении действия сжимающих или растягивающих сил равно половине относительного сдвига, взятого под углом в 45° к этим силам:

Модуль Юнга коэффициент Пуассона модуле емной упругости К и модуль сдвига не являются независимыми. Они связаны друг с другом двумя уравнениями. Выведем эти уравнения.

Рис. 79.

Представим себе прямоугольный стержень (рис 79), продольно растягиваемый силами, напряжение которых равно

Относительное удлинение стержня Стержень испытывает поперечное сжатие равное продольному удли нению, умноженному на коэффициент Пуассона Приложим мысленно к боковым граням стержня, к каждой из них. по две равные и направленные в противоположные стороны силы, напряжения которых равны Ясно что эти силы как взаимно уравновешивающие друг друга, не произведут никаких деформаций и первоначальная деформация останется неизменной Разложим растягивающее стержень напряжением приложенное к концам стержня на три равные напряжения действующие по одной прямой. Теперь мы можем как угодно сгруппировать действующие на стержень силы.

Растягивающие напряжения действующие на все грани стержня вызовут всестороннее объемное растяжение — эквивалентное всестороннему линейному относительному растяжению

Растягивающие напряжения действующие на грани совместно со сжимающими напряжениями действующими на грани произведут сдвиг направлении к оси стержня; эквивалентный два раза

меньшему удлинению в направлении оси стержня и такому же поперечному сжатию

Точно так же оставшиеся растягивающие напряжения, действующие на верхнее и нижнее основания стержня, совместно со сжимающими напряжениями, действующими на две другие боковые грани произведут сдвиг, эквивалентный удлинению в направлении оси и такому же поперечному сжатию. Итак, полное продольное растяжение

откуда

Поперечное сжатие перпендикулярное к граням или

откуда

Уравнением (12) пользуются для вычисления модуля всесторонней упругости К исходя из легко определяемых опытным путем модулей и сдвига

Складывая (12) и (13), получим уравнение, служащее для вычисления коэффициента Пуассона

или