§ 14. Движение под действием постоянной силы

Чтобы показать, как применяются законы Ньютона для решения задач динамики, рассмотрим два примера: прямолинейное движение под действием постоянной силы и движение брошенного тела. Оба случая являются важными сами по себе.

Когда действующая на тело сила изменяется при движении тела и когда вследствие этого движение оказывается сложным, часто обнаруживается

возможность для коротких промежутков времени считать силу приближенно постоянной, что позволяет применить для анализа движения на отдельных участках траектории выведенные ниже простые формулы.

Прямолинейное движение под действием постоянной силы. При неизменной величине и при неизменном направлении сила и, очевидно, ускорение сохраняют постоянную по численному значению и по направлению величину во все время движения; если при этом сила направлена по движению, то скорость растет (ускорение положительно), движение равноускоренное; если же сила направлена противоположно движению, то скорость убывает (ускорение отрицательно), движение равнозамед ленное.

Камень, отпущенный (уроненный) без толчка, движется равноускоренно по вертикали вниз под действием постоянной силы тяжести. Камень, брошенный вертикально вверх, движется сначала равнозамедленно, а достигнув наивысшей точки, движется затем вниз равноускоренно.

В технике мы часто встречаем случаи, когда в первом приближении для выполнения ориентировочных расчетов движение можно считать равноускоренным или равнозамедленным. Так, например, можно говорить о равноускоренном движении поезда при его отправлении со станции и о равнозамедленном движении его при торможении перед остановкой.

Рассмотрим прямолинейное равноускоренное или равнозамедленное движение и найдем, как изменяются скорость и пройденный путь в такого рода движении.

Пусть в некоторый начальный момент времени точка имеет скорость Так как ускорение представляет изменение скорости за единицу времени, то через секунд скорость изменится на величину следовательно, скорость в момент будет:

Чтобы рассчитать пройденный за время путь, заметим, что хотя скорость во время движения возрастает или убывает, но ввиду равномерности ее изменения мы можем для вычисления пройденного расстояния считать движение в промежутке времени от до происходящим с некоторой средней для этого промежутка времени скоростью Ее находим как среднее арифметическое между начальной скоростью и конечной а именно:

Тогда пройденный за время путь выразится произведением

Это и есть уравнение движения при

Если начальная скорость то формулы упрощаются:

Особенный интерес представляет случай движения тел под действием силы тяжести.

1. Если тело уронено (отпущено без толчка), то оно будет равноускоренно двигаться вертикально вниз. Это движение определяется формулами

где ускорение силы тяжести, равное Из этих двух формул,

исключая время можно определить конечную скорость тела при падении с высоты

2. Если тело брошено вертикально вниз с начальной скоростью то

3. Если тело брошено вертикально вверх с начальной скоростью то, считая направление вверх положительным, а вниз — отрицательным (так что имеем;

Отсюда легко найти время наивысшего поднятия и наибольшую высоту В самом деле, полагая находим: подставив это значение во вторую формулу, найдем:

Движение брошенного тела. Рассмотрим полет снаряда, брошенного с начальной скоростью под углом а к горизонту (рис. 15) Направим ось X горизонтально, а ось вертикально и разложим начальную скорость на горизонтальную составляющую и вертикальную составляющую

Рис. 15. Полет снаряда, брошенного под углом а к горизонту. Пунктиром показана баллистическая кривая.

Так как сила тяжести горизонтальной составляющей не имеет, то горизонтальная скорость остается постоянной:

Абсцисса определится как путь, пройденный в равномерном движении со скоростью

Вертикальная составляющая скорости меняется со временем: она представляет собой разность между вертикальной составляющей начальной скорости направленной вверх, и скоростью, получаемой снарядом под действием силы тяжести, направленной вниз и численно равной т. е.

Ордината у найдется как разность между перемещением в равномерном движении вертикально вверх со скоростью значит, численно равным и перемещением по вертикали вниз в равноускоренном движении под действием силы тяжести, численно равным так что

Определим время наивысшего подъема максимальную высоту и дальность полета Так как в точке наивысшего подъема вертикальная состав

ляющая скорости равна нулю, то из уравнения для

Вставляя в уравнение уравнение получим высоту и дальность полета;

При заданной начальной скорости хшкс будет иметь наибольшее значение, если т. е. при Значит, наибольшая дальность полета снаряда получается при угле подъема, равном 45°. Далее, так как то дальность при данной начальной скорости будет одна и та же при угле бросания значит, существуют две траектории, двигаясь по которым брошенное тело попадает в одну и ту же точку. Одну из них (более пологую) называют настильной, другую — навесной (рис. 16).

Рис. 16. Навесная и настильная стрельба.

Исключая время из уравнений (13) и (14), получаем уравнение траектории снаряда — параболу:

(рис. 17).

Рис. 17. Простейшая демонстрация траектории брошенного тела.

Уравнения выведены в предположении, что воздух не оказывает сопротивления движению брошенного тела. При больших начальных скоростях такое предположение не может быть принято, и в приведенные уравнения должны быть введены существенные поправки. Траектория уже не будет параболой; ее нисходящая ветвь оказывается значительно круче восходящей (так называемая баллистическая кривая); дальность и высота полета значительно уменьшаются.