§ 27. Удар

Ударом называют внезапное изменение состояния движения тела вследствие столкновения его с другим телом. Во время удара оба тела претерпевают изменение формы (деформацию). Сущность удара заключается в том, что кинетическая энергия относительного

движения соударяющихся тел на короткое время преобразуется в энергию упругой деформации и в той или иной мере в энергию молекулярного движения; удар приводит к передаче и, вообще говоря, к перераспределению энергии между соударяющимися телами.

Процесс удара можно разделить на две фазы. В течение первой фазы происходит сближение тел; оба тела производят работу против сил реакции; их общая кинетическая энергия уменьшается; относительная скорость уменьшается до нуля. Вслед за этим наступает вторая фаза: тела начинают удаляться друг от друга, восстанавливая свою форму, при этом реакции совершают положительную работу, кинетическая энергия системы растет, относительная скорость, переменив знак, возрастает по абсолютной величине, наконец, тела отделяются, и этим заканчивается процесс удара.

Рис. 41. К определению по отскоку шарика.

Наблюдения показывают, что относительная скорость после удара не достигает своей прежней численной величины Это объясняется тем, что на практике мы никогда не имеем дела с идеально упругими телами и идеально гладкими поверхностями. Отношение численной величины нормальной (по отношению к поверхности соприкосновения) составляющей относительной скорости после удара к ее величине до удара называют коэффициентом восстановления

Коэффициент восстановления проще всего можно определить, наблюдая высоту отскока шарика при падении его на горизонтальную плоскость. Если упругий шарик падает с высоты на упругую горизонтальную плоскость (рис. 41), то

Приводим значения для некоторых материалов по наиболее точным измерениям В. В. Райковского (1952):

(см. скан)

Если для сталкивающихся тел то такие тела называют абсолютно неупругими.

Если то сталкивающиеся тела носят название абсолютно упругих. В действительности для всех тел коэффициент имеет

значения, заключенные между и 1. Однако на практике в ряде случаев можно с большой точностью использовать идеализацию абсолютно упругих и абсолютно неупругих тел.

Рис. 42. Линия удара

Прямую проходящую через точку соприкосновения (рис. 42) и нормальную к поверхности их соприкосновения, называют линией удара. Когда линия удара проходит через центры тяжести обоих тел, то удар называют центральным. (Удар между однородными шарами всегда будет центральным.)

Если до удара оба тела двигались по линии удара, удар называется прямым, в противном случае — косым.

Рис. 43. Прямой центральный удар шаров.

Для прямого центрального удара тел с массами (рис. 43), имевших до удара скорости , и а после удара — скорости по закону сохранения количества движения

Удар абсолютно неупругих тел этом случае оба тела движутся после удара как одно целое, с одной и той же скоростью поэтому из выражения (3)

Так как при ударе неупругих тел они деформируются и эта деформация не восстанавливается, то часть кинетической энергии теряется: она идет на работу деформации. До удара кинетическая энергия была —а после удара она стала или, подставляя значение и из формулы (4):

Следовательно, потеря кинетической энергии, или работа деформации, равна

Для случая, чаще всего встречающегося на практике, а именно, когда одно из тел, например первое, до удара неподвижно обозначая кинетическую энергию ударяющегося тела через из получаем

На практике применяют удар для работ двоякого рода. Работы первого рода состоят в изменении формы тел (деформации), например при ковке, чеканке и штамповке металла, при раздроблении тел и т. д. Из приведенной формулы видно, что в этом случае выгодно, чтобы масса неподвижного тела была больше массы ударяющего тела (поэтому, в частности, наковальни делают возможно более массивными).

Работы второго рода состоят в перемещении тел после удара и преодолении при этом сопротивлений, как, например, при забивке свай в землю, вбивании гвоздей, клиньев и т. д. В этом случае используется энергия и выгодно, чтобы масса неподвижного тела была мала в сравнении с массой ударяющего тела.

Удар абсолютно упругих тел (e = 1). При ударе упругих тел к концу первой фазы удара, которую можно назвать фазой сжатия, скорости обоих тел, как и при неупругом ударе, принимают одинаковые значения. Следовательно, изменение (алгебраическое приращение) скорости первого тела будет а второго Так как в течение второй фазы (фазы восстановления) импульсы взаимных реакций тел будут вследствие полной упругости и полного исчезновения деформации такие же, как и в течение первой фазы, то и изменения (алгебраические приращения) скоростей тел в течение этой второй фазы будут такие же, как и в течение первой. Поэтому полное приращение скорости первого тела к концу удара будет а второго тела скорости тел после удара будут:

Подставив сюда вместо и его значение из формулы (4), получим:

Эти соотношения можно получить также, присоединяя к (3) уравнение сохранения кинетической энергии соударяющихся абсолютно упругих тел.

Из выражения (6) следует, что:

Когда массы обоих тел равны то после удара они обмениваются своими скоростями и В случае, если одно тело до удара было в покое, то после удара двигавшееся тело остановится, а первоначально покоящееся будет двигаться со скоростью ударившего тела.

Когда масса одного из тел, находящегося в покое, несравненно больше массы другого (например, то неподвижное большое тело, получившее удар, останется в покое, а ударившее его малое тело отскочит от него с первоначальной скоростью в противоположную сторону

Среду других вопросов, связанных с ударом, интересным является также вопрос о времени соударения (продолжительности удара).

Герц (1881 г.), исходя из теории упругости, предложил теорию деформации тел при ударе, в которой решается также вопрос и о времени соударения. Для характеристики порядка величин приведем один результат расчета: для двух латунных шариков диаметром около 2/4 см при относительной скорости около 7 см/сек продолжительность удара получается порядка двух десятитысячных долей секунды, а при скорости около одной десятитысячной доли секунды.

Опыты Гамбургера (1886 г.) и русских исследователей Нелюбова (1902 г.) и Динника (1909 г.) дали хорошее совпадение с теорией Герца для стальных шаров; к мало упругим и неупругим телам теория Герца не применима.

Для иллюстрации влияния масс и размеров шаров на время удара интересно также провести такое сопоставление: в то время как при обычных условиях опыта время соударения двух стальных шариков составляет десятитысячные доли секунды, процесс удара двух стальных шаров, имеющих размеры Земли, при начальной скорости сек длился бы несколько часов.