ГЛАВА X. КОЛЕБАТЕЛЬНОЕ ДВИЖЕНИЕ

§ 56. Гармоническое колебание

В повседневной жизни и в технике мы постоянно сталкиваемся с колебательным движением: маятник стенных часов совершает периодические качания около отвесного положения, кузов автомашины или вагона качается на мягких рессорах и т. д. Во многих случаях различным колебательным движениям присущ общий признак, заключающийся в существовании некоторого устойчивого положения, в котором колеблющееся тело пребывает до и после колебаний и в котором оно может находиться неопределенно долгое время — до тех пор, пока внешняя сила не выведет его из этого устойчивого состояния. Для маятника таким устойчивым положением является отвесное; для фундамента машины и подвешенного на рессорах вагона — положение, соответствующее некоторой постоянной деформации, обусловленной весом машины или вагона.

Всегда, когда выводят тело из устойчивого положения, возникает сила, стремящаяся возвратить тело в начальное положение. Происхождение этой силы может быть различным. Для маятника — это сила тяжести, для кузова вагона — упругость рессор.

Наличие возвращающей силы является еще недостаточным условием возникновения колебательного движения. В колебательном движении, помимо возвращающей силы, должен участвовать еще и другой фактор, не позволяющий колеблющемуся телу сразу же остановиться в той точке его пути, которая соответствует устойчивому состоянию. Этим фактором является инерция колеблющегося тела.

Колебательное движение имеет особенно простой характер в том случае, когда возвращающаяся сила возрастает пропорционально смещению колеблющегося тела из положения равновесия. Сначала мы рассмотрим этот случай чисто кинематически.

Представим себе точку (рис. 126), движущуюся по кругу радиуса а с постоянной угловой скоростью и рассмотрим движение проекции этой точки на вертикальную ось. Пусть в момент

времени радиус повернулся из начального положения на угол тогда смещение х точки равное отрезку определяется простым выражением:

Угол называют фазой колебания точки зная угловую скорость

(где время обхода точкой полной окружности, а длина дуги полной окружности в угловых единицах), нетрудно найти фазу

и, следовательно,

Рис. 126. При равномерном движении точки по кругу ее проекция совершает гармоническое колебание.

Рассматривая движение проекции точки на горизонтальную ось, аналогично получаем:

Колебательный характер движения, выражаемого уравнениями (1) и становится особенно очевидным, когда они представлены, как это сделано на рис. 127, графически

Рис. 127. а — амплитуда гармонического колебания, период.

Колебательное движение, выражаемое функцией синуса или косинуса, называют простым гармоническим колебанием; оно полностью характеризуется следующими величинами:

1. Расстоянием (а) наибольшего отклонения от начального положения — амплитудой.

2. Периодом колебания т. е. временем, в течение которого колеблющаяся точка (или тело) совершает полный цикл колебательного движения, смещаясь сначала в одну, а затем в другую сторону от начального положения и снова возвращаясь к нему.

Вместо периода колебания можно задать его частоту определяемую числом полных колебаний, совершаемых в течение 1 сек. Единицу частоты — одно колебание в называют герц. Очевидно, что период и частота являются относительно друг друга обратными величинами:

Угловая частота о однозначно определяется периодом или частотой:

Очевидно, что со означает число полных колебаний, совершаемых в течение секунд.

Перейдем к рассмотрению сил, под действием которых может возникнуть простое гармоническое колебание. Для этого, воспользовавшись уравнением (1), найдем сначала скорость и ускорение гармонически колеблющейся точки:

Последнее выражение означает, что в каждый данный момент времени ускорение пропорционально смещению х точки из начального положения; знак минус указывает, что ускорение всегда направлено противоположно смещению. Ускорение пропорционально вызывающей его силе и направлено в ту же сторону, что и сила; значит, сила, обусловливающая ускорение колеблющегося тела, направлена тоже в сторону, противоположную смещению, и пропорциональна величине смещения. Очевидно, что эта сила и есть сила, возвращающая точку к положению равновесия.

Умножая обе части уравнения (5) на массу колеблющейся материальной точки, мы получим дифференциальное уравнение простого гармонического колебания:

где

Уравнение (6) имеет простой физический смысл: в левой его части стоит произведение массы колеблющейся точки на ее ускорение, чем и определяется согласно второму закону Ньютона действующая на точку возвращающая сила — Таким образом, уравнение (6) выражает второй закон механики применительно к

случаю материальной точки, связанной с положением равновесия силой, пропорциональной смещению. Обратно, при наличии возвращающей силы, пропорциональной смещению тела, последнее будет совершать простое гармоническое колебание, выражаемое уравнениями (1) или

Теория гармонических колебаний играет в физике совершенно исключительную по своему значению роль. Учение о гармонических колебаниях используется во всех отделах физики: в теории упругости, в акустике, в оптике, в учении об электричестве, в кинетической теории материи, в теории атома. Чем объясняется эта универсальная применимость учения о гармонических колебаниях?

Исключительная роль учения о гармонических колебаниях объясняется двумя обстоятельствами. Гармоническое колебание — это движение, вызванное силой, возрастающей пропорционально отклонению х от положения равновесия. Какова бы ни была в действительности зависимость силы от зависимость эта всегда может быть представлена в виде бесконечного ряда Тейлора; первым членом этого ряда является квазиупругая сила (т. е. сила, пропорциональная остальные члены ряда пропорциональны последовательно возрастающим степеням Если смещение мало, старшими членами ряда можно пренебречь, — это случай гармонического колебания. При значительных отклонениях от положения равновесия нужно учитывать второй, третий и другие члены ряда (в этом случае. колебания ангармоничны). По мере роста амплитуды колебательное движение обычно все более и более уклоняется от гармонического колебания. Но и в этом случае каждый раз, когда колеблющаяся система подходит к положению равновесия, поочередно отпадает влияние старших членов ряда Тейлора и близ положения равновесия движение определяется уже одной квазиупругой силой. Поэтому теория гармонических колебательных движений является первым и неизбежным шагом на пути к исследованию почти всех периодических процессов.

Второе обстоятельство, делающее теорию гармонических колебаний весьма важной для различных отделов физики, заключается в том, что многие колебательные системы при внешнем периодическом воздействии на них «отзываются» (резонируют) на гармонические колебания, частота которых близка к частоте собственных колебаний системы (§ 61).