§ 7. Закон сложения ускорений

Под абсолютным ускорением понимают ускорение материальной точки по отношению к основной системе; под переносным ускорением понимают ускорение того места подвижной системы, где в данный момент находится материальная точка, и под относительным ускорением ускорение, которое материальная точка имеет по отношению к наблюдателю, связанному с подвижной системой. Абсолютное ускорение всецело определяется отношением геометрического приращения абсолютной скорости к элементу времени, но переносное и относительное ускорения не всегда столь же просто связаны с переносной и относительной скоростями.

Напишем векторное уравнение (21), выражающее галилеев закон сложения скоростей, для двух бесконечно близких моментов времени геометрически вычтем из второго уравнения первое, тогда

получим:

Разделим все члены этого уравнения на Величина представляет собой ускорение абсолютного движения Однако, что касается величины то она не всегда выражает ускорение относительного движения Действительно, если с точки зрения наблюдателя, связанного с подвижной системой, скорость относительного движения неизменна по направлению и по численному значению, то очевидно, что ускорение относительного движения равно нулю, тогда как величина определяемая наблюдателем, связанным с основной системой, может оказаться и не равной нулю; так будет, когда подвижная система ориентировки вращается относительно основной системы; при равномерном прямолинейном относительном движении величина Сбудет выражать геометрическое изменение относительной скорости, происходящее благодаря указанному вращению подвижной системы. Например, когда человек идет по палубе корабля прямо от кормы к носу, а в то же время корабль поворачивается, то для наблюдателя, находящегося на берегу, это движение уже не является прямолинейным; вектор скорости, сохраняя неизменную ориентацию по отношению к кораблю, поворачивается вместе с кораблем; иначе говоря, относительная скорость испытывает некоторое геометрическое приращение, вызываемое поворотом корабля.

Полное изменение относительной скорости мы будем рассматривать как геометрическую сумму двух компонентов:

Здесь первый вектор в правой части уравнения после деления на дает относительное ускорение:

второй компонент представляет собой изменение относительной скорости, вызываемое вращением подвижной системы.

Величина тоже не всегда выражает ускорение переносного движения. Конечно, для любой точки, покоящейся в подвижной системе, указанная величина является не чем иным, как ускорением переносного движения. Но уравнение (22) мы получили, анализируя перемещение материальной точки в подвижной системе; если подвижная система вращается относительно основной, то переносная скорость в разных участках подвижной системы не одинакова (например, численно переносная скорость вращения тем более велика,

чем дальше отстоит данный участок от оси вращения). Представим себе, что мы мгновенно переместили материальную точку в подвижной системе в смежное положение по траектории относительного движения; изменение переносной скорости, вызываемое ускорением переносного движения, еще не успеет сказаться, но величина будет отлична от нуля и укажет, как в данный момент времени скорости переносного движения в смежных точках на траектории относительного движения геометрически отличаются друг от друга.

Этот компонент в величине зависящий от перемены места в подвижной системе, мы обозначим через тогда другая геометрическая часть величины представит собой изменение переносной скорости, вызываемое ускорением переносного движения; эту часть мы обозначим через Таким образом,

причем

Из сказанного ясно, что в случае поступательного движения подвижной системы, когда в переносном движении каждая из координатных осей подвижной системы перемещается параллельно себе самой (вращения нет), В этом случае при поступательном движении подвижной системы ускорение абсолютного движения равно геометрической сумме ускорений переносного и относительного движений:

В еще более частном случае, когда подвижная система движется поступательно с постоянной скоростью (т. е. ускорения абсолютного и относительного движений совпадают по величине и по направлению. Иначе говоря, ускорение движения является одинаковым для наблюдателей, движущихся относительно друг друга поступательно с постоянной скоростью. В этом смысле говорят, что системы ориентировки, которые движутся по отношению друг к другу поступательно с постоянной скоростью, «равноценны в отношении ускорения».

Вобщем случае, когда переносное движение связано с вращением подвижной системы относительно основной системы, ускорение абсолютного движения равно геометрической сумме трех слагаемых: ускорения переносного движения, ускорения относительного движения и так называемого поворотного (кориолисова) ускорения:

По установленным выше обозначениям

Замечательно, что обе части поворотного ускорения (часть, зависящая от влияния вращения на направление относительной скорости, и часть, зависящая от неравенства переносных скоростей на пути относительного движения) всегда являются численно равновеликими и одинаково направленными:

Вычисления показывают, что каждая из этих частей поворотного (кориолисова) ускорения равна произведению угловой скорости поворота на относительную скорость и синус угла а между векторами со и

Рис. 12. Взаимное расположение векторов и

Вектор, численно равный произведению числовых величин двух каких-либо векторов на синус угла между ними и направленный перпендикулярно к обоим этим векторам, называют векторным произведением и обозначают Следовательно, векторное произведение численно равно площади параллелограмма, построенного на векторах-сомножителях, как на сторонах. Положительным направлением вектора мы будем считать то направление, по которому поворот от А к В виден происходящим по часовой стрелке. Очевидно, что

Из сказанного выше следует, что поворотное (кориолисово) ускорение Уповор представляет собой удвоенное векторное произведение угловой скорости поворота на относительную скорость (рис. 12):