§ 59. Другие случаи сложения колебаний

Когда складываемые колебания имеют одинаковое направление, но неодинаковый период, то результирующее колебание, вообще говоря, не является гармоническим.

Чтобы разобраться в том, какое результирующее движение в данном случае будет совершать материальная точка, обратимся снова к векторной диаграмме. Однако теперь вследствие неодинаковости частот слагаемых колебаний векторная диаграмма в том виде, как

она изображена на рис. 131, может быть применена только к начальному моменту времени Желая построить векторную диаграмму для какого-либо другого момента времени, мы должны заменить углы углами и со Так как в данном случае то угол между векторами, изображающими амплитуды слагаемых колебаний, а именно угол будет приставлять собой величину, изменяющуюся со временем. Следовательно, если бы мы пожелали представить результирующее колебание в виде функции

то мы должны были бы считать «амплитуду» а и «начальную фазу» величинами, изменяющимися со временем (рис. 133). Как изменяются со временем величины об этом можно составить себе представление, если вообразить, что векторы и вращаются вокруг начала координат с угловыми скоростями (угол между этими векторами будет изменяться со скоростью

Рис. 133. При сложении двух гармонических колебаний неодинаковой частоты «амплитуда» и «начальная фаза» результирующего колебания изменяются со временем, что указывает на то, что результирующее колебание не является гармоническим.

Весьма важными являются два частных случая: сложение колебаний с кратными периодами и сложение колебаний, периоды которых разнятся весьма мало.

Сложение колебаний с кратными периодами. Всякое колебание характеризуется прежде всего формой колебания; под формой колебания подразумевают зависимость между смещением и временем представленную графически, как это сделано, например, на рис. 127 и 132. Нетрудно убедиться в том, что сложение гармонических колебаний (синусоидальных и косинусоидальных) дает результирующее колебание, форма которого существенно зависит от соотношения периодов и фаз слагаемых колебаний. Простейший способ определения формы результирующего колебания состоит втом, что на графике мы алгебраически складываем ординаты кривых, изображающих слагаемые колебания. На рис. 134 утолщенной линией показана форма колебаний, получаемая при сложении двух синусоидальных колебаний, периоды которых относятся, как 1 к 2.

По теореме, доказанной Фурье, колебание любой формы с периодом можно представить как сумму гармонических колебаний с периодами Такое разложение произвольной

периодической функции на синусоидальные функции называют гармоническим анализом. На рис. 135 показано разложение периодической функции треугольной формы на четыре синусоиды с периодами

Рис. 134. Форма результирующего колебания при отношении периодов

Зная форму периодической функции по методу, разработанному Фурье, всегда можно вычислить амплитуды и фазы синусоид, суммированием которых может быть получена данная функция (метод Фурье излагается в курсах анализа).

Сложение колебаний с близкими периодами (биения). Когда частоты слагаемых колебаний мало различаются, то в некоторые промежутки времени колебания оказываются почти совпадающими по фазе и в это время они «усиливают друг друга». В другие промежутки времени колебания оказываются почти противоположными по фазе и тогда они «гасят друг друга». Такие усиления и ослабления результирующего колебания, чередуясь, следуют друг за другом с частотой, равной разности частот слагаемых колебаний. Это явление носит название биений. На рис. 136 показано возникновение биений при сложении двух гармонических колебаний одинаковой амплитуды с отношением периодов 7 к 6.

Рис. 135. Разложение треугольной кривой на четыре синусоиды.

Сложение двух взаимно перпендикулярных колебаний. Участвуя одновременно в двух взаимно перпендикулярных колебательных движениях одинакового периода, точка совершает результирующее движение по эллиптической траектории. Вид этого эллипса зависит от разности фаз колебаний; в частных случаях эллипс может выродиться в прямую линию (рис. 137).

Если разность фаз равна у или причем амплитуды колебаний равны друг другу то результирующее движение происходит по окружности.

Гораздо более сложные траектории получаются в тех случаях, когда периоды складывающихся колебаний неодинаковы. В зависимости от соотношения периодов, амплитуд и начальных фаз

складывающихся колебаний траектории результирующего движения принимают вид замысловатых кривых, известных под названием фигур Лиссажу (в честь изучавшего их французского физика).

Рис. 136. Биения; нижняя кривая представляет собой результат сложения двух верхних кривых.

Рис. 137. Влияние разности фаз на результирующую траекторию при сложении взаимно перпендикулярных колебаний одинакового периода и равных амплитуд.

Рис. 138. Фигуры Лиссажу

На рис. 138 показаны некоторые из этих фигур. Лиссажу демонстрировал сложение колебаний посредством светового «зайчика», отраженного

от ножек двух колеблющихся камертонов. Этот способ демонстрации сложения колебаний пояснен рисунками 139 и 140 (если бы в случае, изображенном на рис. 139, мы убрали вращающееся шестигранное зеркало В и на его место поставили экран, то могли бы наблюдать «результирующую траекторию» в виде вертикальной полоски).

Рис. 139. Демонстрация сложения колебаний одинакового направления.

Рис. 140. Демонстрация сложения взаимно перпендикулярных колебаний.