1.8. Примеры линейных операторов

В теории сигналов линейные операторы часто называют линейными фильтрами. Приведем несколько примеров наиболее важных классов фильтров.

Фильтры, инвариантные к сдвигу.

Если импульсная реакция фильтра (ядро оператора по базису -функций) не зависит от координат сигнала, т. е. если

при любом то фильтр называется инвариантным к сдвигу. Нетрудно понять (например, произведя замену переменных в (1.107)), что импульсная реакция фильтра, инвариантного к сдвигу, является функцией разности аргументов

так что

Эта операция называется сверткой и обозначается знаком

Такой импульсной реакцией обладают линейные системы с постоянными параметрами (для сигналов как функций времени) и пространственно-однородные системы, инвариантные по отношению к пространственному сдвигу.

Найдем вид ядра таких систем по экспоненциальному базису. Согласно (1.98) (см. также табл. 1.2, строка 16)

где

— так называемая частотная характеристика фильтра, инвариантного к сдвигу.

Соотношение (1.111) показывает, что комплексная экспонента является собственным базисом фильтров, инвариантных к сдвигу. Действительно, их отклик на комплексную экспоненту равен

Замечательным свойством фильтров, инвариантных к сдвигу, является то, что последовательное действие на сигнал нескольких таких фильтров равноценно действию одного фильтра, частотная характеристика которого равна произведению частотных характеристик этих фильтров. Оно вытекает из формулы (1.106), связывающей спектр сигнала по собственному базису фильтра и частотную характеристику фильтра, а также из теоремы о свертке (табл. 1.2, строка 16):

Отсюда следует, что результат последовательного преобразования сигнала несколькими инвариантными к сдвигу фильтрами не зависит от порядка действия этих фильтров, и можно объединять эти фильтры в произвольной последовательности в произвольные группы.

Тождественный оператор.

Такой оператор описывается уравнением

Ясно, что это оператор, инвариантный к сдвигу, и его импульсная реакция есть -функция.

Оператор сдвига.

Этот оператор близок к тождественному и отображает сигналы в сигналы вида :

Для него

а частотная характеристика

Оператор дискретизации. Этот оператор родствен тождественному оператору и оператору сдвига и описывается импульсной реакцией

и частотной характеристикой

Очевидно, что для сигналов, спектр Фурье которых отличен от нуля только на интервале (сигналов с ограниченным спектром), этот оператор эквивалентен тождественному оператору (и оператору сдвига):

Для остальных сигналов это оператор, превращающий их, как это следует из (1.114) и (1.120), в сигналы с ограниченным спектром.

Оператор стробирования (умножитель).

Этот оператор осуществляет преобразование вида

Его импульсная реакция, очевидно, равна

т. е. он не является оператором, инвариантным к сдвигу.

Применив к (1.122) теорему о свертке (табл. 1.2, строка 16), можно найти, что ядро этого оператора по отношению к экспоненциальному базису есть где