1.4. Непрерывные представления сигналов

Выше было описано представление сигналов как элементов конечно-мерного евклидова или счетно-мерного гильбертова пространства. Это представление, ставящее сигналу в соответствие (при заданном базисе) набор чисел, можно назвать дискретным. Оно является основой цифрового описания непрерывных сигналов. Для того чтобы понять, как получается такое описание, удобно рассматривать дискретное представление сигналов

как предельный случай непрерывного представления, которое получается, если заменить номер базисной функция к непрерывной переменной , где — конечный или бесконечный интервал [59]. Тогда аналогом (1.56) будет

Естественно распространить такой подход и на способ определения по введя взаимные функции или сопряженное базисное ядро:

Функцию называют интегральным преобразованием сигнала или его спектром по непрерывному базису .

Условие взаимности функций можно получить, подставив (1.58) в (1.57):

где

Таким образом, функции взаимны, если интеграл (1.60) от их произведения удовлетворяет условию

Функция определяемая соотношением (1.61), называется -функцией. Формула (1.60) может рассматриваться как обобщение условия (1.27) взаимности базисных функций конечно-мерного или счетно-мерного пространства сигналов, а также как вариант непрерывного представления сигнала (1.57), когда базисом служит -функция.

Подставив (1.57) в (1.58), можно получить, что условие (1.61) распространяется и на второй аргумент взаимных базисных функций:

Часто удобно рассматривать -функцию как функцию одного аргумента, принимая При этом (1.61) принимает

Пользуясь понятиями непрерывного представления, дискретное представление сигналов (1.56) можно записать так:

где — дискретные значения непрерывного аргумента базисной функции соотвествующие базисным функциям в (1.56).

Свяжем теперь дискретное представление сигнала и его непрерывное представление — спектр подставив (1.63) в (1.58):

Это выражение можно рассматривать как непрерывный способ записи дискретного спектра, считая, что дискретному представлению сигнала (когда оно возможно) соответствует дискретный спектр -функция, являющаяся согласно (1.64) элементом пространства, натянутого на базисные функции Очевидно, (1.64) можно рассматривать также как способ записи дискретного сигнала в виде непрерывного.

Пользуясь (1.60) как аналогом (1.27), можно обобщить и понятие ортонормального базиса (1.30):

Базис, или ядро, преобразования удовлетворяющий (1.65 а), (1.65 б), называется самосопряженным. Для самосопряженного базиса справедливо следующее соотношение:

являющееся непрерывным аналогом соотношения Парсеваля (1.34). Его нетрудно проверить, воспользовавшись выражениями (1.65) и определением спектра (1.58). В частном случае, когда выражение (1.66) переходит в следующее:

Все базисные функции, описанные в предыдущем параграфе, могут использоваться также в качестве непрерывных базисов, порождая соответствующее интегральное преобразование. Из них важнейшим в теории сигналов является преобразование Фурье, определяемое в одномерном случае как

Продолжение табл. 1.3 (см. скан)

Согласно интегральной теореме Фурье (см., например, [54]) можно получить из в результате обратного преобразования Фурье:

Отсюда следует, что ядро является самосопряженным, причем -функция, соответствующая этому ядру, понимается в смысле

Имея это в виду, обратное преобразование Фурье записывают так:

Преобразование Фурье двумерных сигналов обычно определяют в прямоугольной системе координат:

Благодаря использованию прямоугольной системы координат двумерное преобразование Фурье распадается на два одномерных:

В табл. 1.2, 1.3 приведены наиболее употребительные формулы, описывающие свойства одномерного и двумерного преобразований Фурье.