1.6. Представление линейных преобразований по отношению к дискретным базисам

Этот и следующий параграфы посвящены разбору конкретных методов математического описания линейных преобразований.

Рассмотрим сначала преобразования сигналов в пространствах, натянутых на дискретные базисы. Эти преобразования имеют непосредственное отношение к цифровой обработке сигналов, и, кроме того, обобщив полученные для них результаты, можно перейти к пространству непрерывных сигналов.

Пусть — линейное пространство со скалярным произведением, натянутое на линейно-независимый базис

Возможно несколько способов представления линейных преобразований элементов этого пространства.

Представление с помощью вектор-откликов.

В силу линейности преобразования

Множество содержит все отклики преобразования на базисные функции Знание этого множества достаточно для того, чтобы найти отклик оператора на любой сигнал по представлению этого сигнала Поэтому оно может рассматриваться как представление для по отношению к базису . В отличие от представления вектора по этому базису, являющегося множеством чисел, представление линейного преобразования это упорядоченный набор векторов. Эти векторы не обязательно будут линейно-независимы. Если они линейно-зависимы, то это значит, что существует подпространство (т. е. сигналы в ), отображаемое в нуль. Это подпространство называется нуль-пространством линейного преобразования. Преобразование, имеющее непустое нуль-пространство, является сингулярным. Например, сингулярным является оператор преобразования излучения фотоприемником, нечувствительным к некоторым длинам волн излучения, или фотоприемником, входной зрачок которого закрыт решеткой, и т. п.

Для сингулярного преобразования размерность пространства выходов меньше размерности пространства входов, поскольку векторы не являются линейно-независимыми,

Матричное представление.

В представлении операторов с помощью вектор-откликов неизменными оставались коэффициенты представления сигнала, а при преобразовании менялся как бы базис пространства. В некоторых случаях удобно задаться базисом пространства, содержащего результаты линейного преобразования сигналов. Найдем представление оператора в этом случае.

Пусть -множество линейно-независимых векторов, на которое натянуто пространство результатов линейного преобразования входного пространства Любой вектор из можно представить в виде

где — базис, взаимный

Подставив получим

Отсюда коэффициенты представления выходного сигнала оператора по базису равны

где

Соотношение (1.81) может быть записано в матричной форме:

где — матрица — векторы-столбцы, являющиеся представлениями векторов а и по базисам соответственно.

Представление операторов с помощью их собственных функций и собственных значений.

Существует еще один способ представления операторов, являющийся обобщением их представления с помощью вектор-откликов. Он строится на базе понятий собственных функций и собственных значений оператора.

Собственные функции (векторы) оператора это такие функции, которые с точностью до скалярного множителя Е называемого

собственным значением, преобразуются оператором сами

Множество векторов и собственных значений полностью определяет оператор и является очень удобной формой для его описания. Действительно, если выбрать в качестве базиса, то результат действия оператора на сигнал представленный по этому базису

очевидно, равен

т. е. представление по собственному базису равно произведению коэффициентов представления сигнала на соответствующие собственные значения:

Подставив (1.84) в (1.82), легко получить матричное представление оператора по такому базису:

Матрица представляющая оператор по базису из его собственных функций, является диагональной матрицей с собственными значениями по диагонали.