1.5. Описание преобразований сигналов. Понятие о линейных и нелинейных преобразованиях

Математически преобразования сигналов удобно трактовать как отображения в пространстве сигналов. В общем случае для описания такого отображения нужно задать все возможные пары входных и выходных сигналов, т. е. упорядочить все пары вход — выход. Но это неконструктивная задача. Так как базовыми операциями существующих цифровых процессоров являются операции над отдельными числами, с их помощью такое описание построить невозможно. Поэтому приходится ограничиваться «иерархическими» описаниями, т. е. представлять желаемые преобразования как достаточно простую совокупность «элементарных» преобразований, каждое из которых может быть описано с помощью небольшого подмножества из всех возможных пар вход — выход.

Важнейшими из таких «элементарных» преобразований являются так называемые линейные преобразования и поэлементные нелинейные преобразования.

Линейные преобразования определяются на линейном пространстве и обладают следующими свойствами:

для любых векторов и скаляров , где обозначает операцию преобразования а или оператор. Очевидно,

т. е. множество линейно преобразованных векторов также образует линейное пространство. Для линейных операторов удобно ввести еще одну операцию — произведение

Физическим эквивалентом произведения является последовательное (каскадное) соединение блоков, реализующих операторы — сомножители.

Благодаря линейности операторов умножение дистрибутивно по отношению к сложению:

Если оператор осуществляет взаимно-однозначное отображение области определения, то существует обратный оператор такой, что

Нелинейные поэлементные преобразования — это преобразования взятых по отдельности коэффициентов представления сигнала по заданному базису, причем закон преобразования каждого коэффициента зависит только от его номера и не зависит от значений других коэффициентов.

Пояснить, в чем состоит простота этих «элементарных» преобразований можно на основе линейного пространства квантованных сигналов. Рассмотрим линейное Димерное пространство сигналов, натянутое на некоторый базис такое, что коэффициенты представления сигналов по этому базису квантованы на М уровней, т. е. могут принимать только М. дискретных значений. Очевидно, количество различных сигналов в таком пространстве равно Столько строк должна иметь таблица, описывающая отображения этого пространства в себя в общем случае.

Линейные преобразования характерны тем, что их результат может быть описан с помощью результатов преобразования только базисных функций. Для этого требуется задать N векторов, а в случае, если векторы-базисы являются так называемыми собственными векторами преобразования, то N чисел.

Нелинейные поэлементные преобразования могут быть описаны М числами — результатами нелинейных преобразований коэффициентов представления сигналов

по заданному базису. Таким образом, для определения нелинейного поэлементного преобразования достаточно задать таблицу из М чисел.