3.7. Сдвинутые, четные и нечетные ДПФ

Кроме основной разновидности ДПФ (3.64), можно ввести целый класс преобразований, которые получаются, если при дискретизации сигнала и спектра смещать положение отсчетов сигнала и его спектра относительно начала координат сигнала.

Рассмотрим сначала одномерный случай. Если отсчеты сигнала расположить так, чтобы начало координат попало посередине между нулевыми и минус первым отсчетами, получим следующий вариант ДПФ:

Обратное ему преобразование определяется выражением

Если так же сдвинуть отсчеты в частотной плоскости, получим преобразование вида

Обратным ему является преобразование

Такому же сдвигу отсчетов только в частотной области соответствует пара преобразований

являющаяся двойником пары преобразований (3.71 а, б).

Вообще, сдвигу отсчетов сигнала на и и спектра на соответствует пара преобразований

Индексы над в (3.746) поставлены для того, чтобы подчеркнуть то обстоятельство, что в отличие от исходной последовательности определенной для к определены при любых к. При последовательность совпадает с исходной

Назовем пару преобразований (3.74 а, б) прямым и обратным сдвинутыми дискретными преобразованиями Фурье и будем обозначать их СДПФ соответственно. Стандартное дискретное преобразование Фурье, рассмотренное в предыдущем параграфе, является, очевидно, .

СДПФ выражается через ДПФ:

Поэтому и вычислить СДПФ можно через ДПФ. Однако с точки зрения простоты вычислений удобно несколько модифицировать СДПФ устранив из ядра преобразования множитель не зависящий от к и и записав пару преобразований как

Назовем эту пару преобразований модифицированными сдвинутыми преобразованиями Фурье Свойства СДПФ и МСДПФ сходны между собой.

При целых и и сводится к циклическому сдвигу ДПФ циклически сдвинутых последовательностей, и поэтому свойства СДПФ при целых совпадают со свойствами ДПФ или . При дробных это не так. Основные свойства СДПФ приведены в табл. 3.3. Для удобства сравнения их со свойствами стандартного ДПФ в правой колонке табл. 3.3 даны номера соответствующих строк табл. 3.1.

Как видно из сопоставления табл. 3.1 и табл. 3.3, СДПФ обладает рядом особенностей по сравнению со стандартным ДПФ. СДПФ соответствует более общий закон продолжения последовательностей

(см. скан)

(см. скан)

Продолжение табл. 3.3 (см. скан)

на номера отличные от (см. табл. 3.3, строка 2), более общее определение четных и нечетных последовательностей (табл. 3.3, строка 7), более общая формула восстановления сигнала по его спектру, из которой вытекает возможность интерполяции сигнала с помощью пары преобразований с соответственно подобранными (табл. 3.3, строка 11а, б), более общая теорема о свертке (табл. 3.3, строка 12а, б) и т. Благодаря этим особенностям некоторые разновидности оказываются удобнее при обработке сигналов, чем (см. ниже, а также § 3.8, 4.6).

Рассмотрим подробнее несколько четных сигналов. Стандартному соответствует следующее определение четного сигнала, состоящего из отсчетов (см. табл. 3.3, строка 7):

и следующее определение для

откуда вытекает, что

Подставив (3.77) в (3.64), получим, что дискретный спектр такого сигнала определяется выражением

и обладает такой же симметрией, что и сигнал:

Поэтому обратное преобразование сводится к выражению, аналогичному (3.78):

Для СДПФ четным является сигнал

т. e. такой же, как и для ДПФ, или СДПФ . Подставив (3.81) в (3.73 а), получим

Из-за того, что, вообще говоря этот спектр не вполне симметричен:

Подставив это выражение в (3.736), получим обратное преобразование

При сигнала (3.81) становится симметричным (см. табл. 3.3, строки 2, 7):

Такой сигнал является четным относительно точки N и нечетным относительно точки . Его спектр является нечетной последовательностью.

Для четным относительно точки является сигнал

нечетный относительно условной точки . Его преобразование, как нетрудно показать, имеет вид

вследствие чего спектр обладает тем же типом симметрии, что и сигнал в (3.81):

Обратное преобразование и в этом случае аналогично прямому (3.87):

Наконец, СДПФ соответствует четный сигнал (см. табл. 3.3, строки 2, 7):

Подставив (3.90) в (3.71 а), получим, что для такого четного сигнала сводится к

Полученный по этой формуле дискретный спектр является нечетным относительно точки и четным относительно точки

Преобразованию (3.91) соответствует обратное преобразование

Пара преобразований (3.91) и (3.93) была предложена в [79] (см. также [80]), где они названы дискретными косинусными преобразованиями.

В [79, 80] показано, что базис хорошо аппроксимирует собственные функции интегрального уравнения (2.40) для экспоненциально спадающих корреляционных функций, благодаря чему он дает лучшие результаты при кодировании изображений, чем другие известные базисы.

Полезным свойством является то, что при четной симметрии сигнала спектр его обладает нечетной симметрией. Поэтому СДПФ удобно

использовать для вычисления спектров и свертки сигналов при их четном продолжении (см. § 3.8, 4.6).

Аналогично можно рассмотреть СДПФ нечетных сигналов. Из них можно выделить сигнала вида

Нетрудно показать, что преобразование такого сигнала сводится к преобразованию вида

которое было предложено в [102] для кодирования изображений и названо «синусным».

Перейдем теперь к двумерным преобразованиям. Двумерные СДПФ (и, так же, как двумерное ДПФ, можно определить как разделяющиеся на два одномерных:

Им соответствуют обратные преобразования

Некоторые свойства двумерных СДПФ приведены в табл. 3.4.

Аналогично определяются двумерные четные и нечетные СДПФ. Так, двумерное СДПФ порождает

(см. скан)

(см. скан)

которым соответствует следующий тип симметрии сигнала:

и спектра