Глава 3. ДИСКРЕТНОЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЕ ЛИНЕЙНЫХ ПРЕОБРАЗОВАНИЙ

3.1. Постановка задачи и общий подход

Эта глава посвящена дискретному описанию линейных преобразований (операторов), которые можно реализовать в цифровых процессорах, и связи его с непрерывными представлениями. Способы описания операторов целиком определяются способами дискретного представления обрабатываемых сигналов.

Поскольку обработке подлежат цифровые сигналы, т. е. сигналы, получающиеся после дискретизации и квантования, то при выборе способа дискретного описания оператора можно считать, что область его определения конечномерна. Пусть — линейное пространство обрабатываемых сигналов базис этого пространства; — оператор преобразования. Пространство сигналов получающихся в результате преобразования, также конечномерно (см. § 1.6). Примем в качестве базиса этого пространства базис . Тогда, как это следует из формул (1.80) — (1.82),

где

— коэффициенты представления по базису — базис, взаимный

— дискретное представление оператора по базису — базис, взаимный

Поскольку нас интересует дискретное представление непрерывных операторов, выразим импульсную реакцию оператора (см. § 1.7) через подставив (3.2) и (3.3) в 3.1) и записав по (1.28), (1.23):

откуда ядро оператора

Сигналы рассматриваемые как объекты цифровой обработки, являются аппроксимацией непрерывных сигналов проекцией на -мерное пространство (см. § 2.2). Поэтому сигналы являются аппроксимацией результатов преобразований непрерывных сигналов непрерывным оператором. В этом смысле можно рассматривать как конечномерную аппроксимацию ядра непрерывного преобразования