2.5. Погрешности дискретизации и восстановления сигналов по теореме отсчетов

Теорема отсчетов справедлива для сигналов, спектр которых точно равен нулю вне некоторого интервала частот. Таких идеализированных сигналов не бывает. Однако с известной степенью точности метод дискретизации, предлагаемый теоремой отсчетов, можно применять для дискретизации сигналов, спектр которых более или менее быстро спадает вне некоторого определенного интервала частот.

Посмотрим, как можно оценить совершаемые при такой дискретизации искажения сигнала. Искажения могут возникнуть как при переходе от непрерывного к дискретному представлению, так и при восстановлении непрерывного сигнала по дискретному представлению.

Согласно теореме отсчетов дискретным представлением сигнала с ограниченным спектром, заданным на интервале являются отсчеты этого сигнала, взятые с шагом :

В соответствии с (2.7) для сигналов, спектр которых не строго ограничен интервалом верна только вторая часть формулы (2.20):

При этом норма ошибки восстановления

будет минимальна и равна, очевидно,

но величины уже не будут в точности отсчетами сигнала , а будут отсчетами сигнала

— результата воздействия на исходный сигнал линейного оператора-фильтра, пропускающего только те его частотные компоненты, которые попадают внутрь интервала

Если в качестве дискретного представления сигнала используются его истинные отсчеты

норма ошибки восстановления по

будет больше той, которая определяется по (2.23).

Рис. 2.5.

Причина этого увеличения ошибки иллюстрируется рис. 2.5, на котором сплошнойлинией показан одномерный спектр сигнала (или сечение двумерного спектра), периодически продолженный с шагом штриховой линией — форма частотной характеристики восстанавливающего фильтра. Как видно из этого рисунка, сигнал отличается от исходного сигнала тем, что он не содержит спектральных составляющих сигнала вне интервала (они определяют величину минимальной ошибки), но содержит «лишние» составляющие за счет наложения размноженных компонент спектра (на рисунке заштрихованы).

Неточность восстановления сигнала по его отсчетам называют еще строб-эффектом [25], так как в результате наложения спектров компоненты исходного сигнала с частотой появляются в восстановленном сигнале с более низкой частотой При восстановлении изображений эти искажения наиболее заметны на пространственных

высокочастотных периодических структурах, которые вследствие биений с растром дискретизации становятся низкочастотными.

Чтобы искажения не возникали, «необходимо, как это вытекает из (2.21), изображение пропустить перед дискретизацией через фильтр низких пространственных частот с целью устранения высокочастотных составляющих сигнала и ограничения пространственного спектра в соответствии с принятым шагом дискретизации. На практике роль такого фильтра обычно выполняет стробирующий датчик устройства дискретизации, производящий измерение отсчетов сигнала. Результат этого измерения можно описать как

Это значит, что спектр сигнала домножается на маску (штрих-пунктирная линия на рис. 2.5), являющуюся преобразованием Фурье функции называемой апертурой или весовой функцией датчика. Эта маска ослабляет верхние пространственные частоты спектра сигнала и, значит, эффекты их наложения при периодическом продолжении за счет дискретизации. Но она в известной степени искажает и соотношение между спектральными составляющими сигнала внутри «полезного» интервала (на рис. 2.5 интервал ибо весовая функция датчиков обычно отличается от требуемой по теореме отсчетов функции

В используемых в настоящее время устройствах дискретизации изображений это либо функция, равная константе в пределах прямоугольного или квадратного окна, либо функция, приближенно описываемая как

где — параметры, определяющие эффективный размер апертуры.

Формула (2.22) синтеза непрерывного сигнала по его дискретному представлению так же не может быть точно реализована на практике, как и формула дискретизации (2.21), и восстановление производится линейным синтезатором, апертура которого отличается от требуемой функции

С этим связана дополнительная погрешность восстановления. Поскольку, вообще говоря, частотная характеристика синтезатора (преобразование Фурье от ) может также только более

или менее быстро спадать за пределами интервала то в спектр восстановленного сигнала попадают составляющие «размноженного» спектра сигнала

Если в сигнале имеется сильная компонента с частотой , то в сигнале появится, хотя в известной степени и ослабленная фильтром дополнительная компонента с частотой Между этими компонентами возникнут биения, которые на изображениях проявляются как муаровая картина. Такой муар можно видеть, например, на телевизионном экране на горизонтальных штриховых мирах телевизионной тест-таблицы [34].

Ослабить эти искажения можно, выбрав частотную характеристику синтезатора так, чтобы значения вне полезного интервала были минимальными. Однако обычно это приводит к изменению значений внутри полезного интервала, т. е. к искажению восстанавливаемого сигнала по сравнению с оригиналом. Эти искажения, как и искажения при измерении отсчетов, необходимо учитывать и корректировать при обработке цифрового сигнала (см. гл. 6).

В существующих в настоящее время устройствах восстановления изображений из цифрового сигнала обычно используется, как и в устройствах дискретизации, прямоугольная (квадратная) или гауссова (как в весовая функция

Восстановление непрерывного сигнала из последовательности отсчетов имеет еще одну особенность, существенную именно для изображений. Дело в том, что в реальных восстанавливающих устройствах невозможно выдержать расстояние между отдельными отсчетами изображения при восстановлении изображения по (2.29) с абсолютной точностью. Колебания этого расстояния также приводят к искажениям восстановленного изображения. Рассмотрим эти искажения на примере устройств с прямоугольной апертурой с размерами, равными шагу дискретизации по соответствующим направлениям. Пусть отсчеты изображения имеют одинаковое значение. Тогда при нестабильности расстояния между отсчетами в некоторых точках восстановленного изображения произойдет удвоение сигнала (за счет наложения апертуры в двух соседних точках растра), в некоторых же точках (там, где расстояние между отсчетами оказалось больше размеров апертуры) значение восстановленного сигнала окажется равным нулю.

Таким образом, небольшая ошибка в расположении отсчетов может привести к существенной ошибке в передаче значений сигнала.

Однако при восстановлении изображений определяющим является даже не это, а то, что нестабильность растра обычно более или менее регулярна, например ошибки в расположении отсчетов повторяются от строки к строке. В результате на изображении появляются ложные узоры, заметные даже при малой ошибке в передаче значений сигнала благодаря высокой чувствительности зрения к протяженным контурам и линиям.

Описанные в этом параграфе факты имеют большое значение при определении требований к устройствам дискретизации и восстановления изображений. Анализ этих требований можно найти в [69, 83].