Глава 2. ДИСКРЕТИЗАЦИЯ И КВАНТОВАНИЕ СИГНАЛОВ

2.1. Обобщенное квантование

До сих пор мы рассматривали в основном аналоговые сигналы. Они обычно являются исходными при цифровой обработке, и первый этап обработки состоит в преобразовании их в цифровые.

Цифровой сигнал с самой общей точки зрения представляет собой некоторое число. Преобразование аналогового сигнала в цифровой состоит в отображении пространства аналоговых сигналов в конечное множество сигналов, т. е. пространство сигналов разбивается на конечное множество подпространств, и в каждом подпространстве выбирается один принадлежащий ему сигнал-представитель так, чтобы все остальные сигналы данного подпространства можно было в пределах заданной степени точности заменить этим сигналом-представителем. Подпространства перенумеровываются, и, таким образом, каждому аналоговому сигналу в пространстве сигналов, разбитом на ячейки, или области эквивалентности, может быть поставлено в соответствие число — номер сигнала представителя. Такое разбиение пространства

сигналов называется обобщенным квантованием (в отличие от просто квантования, о котором пойдет речь ниже) [34]. Подпространства, или ячейки, на которые разбивается пространство сигналов, называются -областями. Этим подчеркивается, что для всех сигналов, принадлежащих данному подпространству, или попадающих в данную ячейку, существует некоторый сигнал-представитель, отличающийся в смысле определенной метрики от остальных сигналов не более чем на некоторую достаточно малую величину е. И метрика — способ измерения отличия сигналов — и сама величина определяются требованиями к точности цифрового представления, т. е. должны задаваться с учетом запросов получателя и особенностей процедуры обработки цифрового сигнала.

Важным вопросом обобщенного квантования является объем получающегося цифрового представления. Этот объем можно оценить как количество дискретных квантованных сигналов-представителей. От него непосредственно зависит сложность (а значит, реализуемость и стоимость) цифровой системы обработки.

Наиболее общий метод оценки объема дискретного представления дает теория информации на основе статистического описания сигналов и их преобразований. В соответствии с теоретико-информационной трактовкой каждому элементу объема пространства сигналов приписывается некоторая вероятностная мера — вероятность того, что в массе реализаций (экспериментов, наблюдений и т. п. актов) встретятся принадлежащие ему сигналы.

Точность воспроизведения сигналов также трактуется статистически как среднее значение некоторого расстояния между сигналами в метрике, определяемой получателем сигналов и особенностями их обработки.

Пусть — совместная вероятность того, что сигналы из некоторого элементарного объема пространства сигналов вблизи точки а перейдут в сигналы из элементарного объема пространства их преобразований вблизи точки — соответствующие плотности вероятностей.

Введем величину

которая в теории информаций носит название количества взаимной информации в сигналах из

Пусть также — мера отличия сигналов а и с точки зрения получателя.

Тогда величина

Является мерой отличия между сигналами и результатами их преобразований в среднем по всему пространству сигналов и по их реализациям. Если при различных преобразованиях величина все время остается меньше некоторой допустимой величины можно считать, что сигналы из в среднем не отличимы от сигналов из в смысле заданного критерия и заданной средней величины погрешности отображения е. Среди таких преобразований существуют преобразования, при которых количество взаимной информации оказывается минимальным. Это минимальное значение называется -энтропией пространства сигналов:

В соответствии с одним из основных результатов теории информации величина определяет нижнюю границу числа сигналов N, необходимого и достаточного для цифрового представления сигналов из пространства при заданном критерии точности

Численная оценка для таких сигналов, как изображения, является достаточно сложной задачей, поскольку вопрос о количественном критерии отличия одного изображения от другого, адекватно и исчерпывающе описывающем свойства зрительного восприятия изображений, остается до настоящего времени открытым. Грубой оценкой сверху значения для изображений может служить (как это следует из достигнутых результатов по кодированию изображений с сохранением высокого качества воспроизведения произведение площади изображения на площадь его пространственного спектра