2.7. Оптимальное дискретное представление и размерность сигналов

Важным принципиальным вопросом теории дискретизации является вопрос об объеме дискретного описания сигналов, т. е. о количестве N базисных функций, используемых для представления

или размерности конечно-мерного пространства, на которое проектируется сигнал при дискретизации. Для сигналов с ограниченным спектром объем описания — это количество отсчетов сигнала. Как следует из теоремы отсчетов, для двумерных сигналов количество отсчетов на единицу площади равно площади прямоугольника, ограничивающего спектр сигнала в частотной плоскости (при прямоугольной дискретизации). Но дискретизация посредством измерения отсчетов — не единственный способ дискретизации. Естественно считать оптимальным такой способ, при котором размерность базиса минимальна при заданной точности восстановления сигнала. Чтобы найти оптимальный базис, нужно прежде всего определить класс сигналов, для которых он отыскивается, а также задать точность восстановления для этого класса. Пользуются двумя подходами к описанию классов сигналов: детерминистическим и статистическим.

При детерминистическом подходе сигналы рассматриваются как результат преобразования произвольных сигналов некоторым линейным оператором, так что разные классы различаются между собой и описываются только видом этого оператора. Сигналы с ограниченным спектром — один из таких классов. Им соответствует линейный фильтр — оператор с частотной характеристикой вида При таком подходе вопрос о выборе оптимального базиса сводится к нахождению связи между характеристиками линейного оператора, определяющего класс сигналов, и базисными функциями.

Если точность дискретного представления

по ортонормальному базису сигналов получающихся в результате действия на произвольные сигналы а некоторого линейного оператора оценивать нормой разности

где

то оказывается (см., например, [59]), что наилучшая в смысле минимума максимального (для разных а) значения система функций определяется соотношением

Здесь собственные функции составного оператора — оператор, собственные функции которого попарно ортогональны собственным функциям оператора а собственные значения комплексно сопряжены с собственными значениями оператора При этом наибольшая относительная погрешность (2.32) ограничена величиной собственного значения оператора

Таким образом, если расположить собственные значения в порядке их убывания, то размерность пространства сигналов, порождаемого оператором определяется номером его собственного значения, не превышающего заданную ошибку представления. Примером использования такого подхода может служить оценка размерности пространства сигналов почти ограниченной протяженности с почти ограниченным спектром, полученная в [104].

Пусть — сигнал, удовлетворяющий следующим условиям:

где — оператор стробирования, высекающий из сигнала участок протяженностью — идеальный полосовой фильтр, пропускающий только частоты спектра сигнала на интервале — ошибки такого усечения сигнала по протяженности и по спектру соответственно.

Тогда наилучшим является представление

по функциям определяемым уравнением

и называемым сфероидальными волновыми функциями, причем

если N - наименьшее целое число, превышающее

При сфероидальные волновые функции приближаются к отсчетным функциям и разложение (2.37) переходит в разложение по теореме отсчетов. При конечном Т представление (2.37) сигналов, заданных (2.36), лучше их разложения по функциям при том же числе членов.

При статистическом подходе оптимальный -мерный базис для представления отдельных реализаций сигналов обычно определяют как базис, при котором норма ошибки, усредненная по ансамблю реализаций, минимальна. В этом случае получается результат, аналогичный (2.35) и известный как теорема Карунена—Лоэва [59]: минимальное значение нормы ошибки представления сигналов на интервале протяженностью Т достигается при использовании в качестве базиса собственных функций оператора, ядром которого является корреляционная функция сигналов

соответствующих N наибольшим собственным значениям. При этом норма ошибки равна

Такое представление называется разложением Карунена — Лоэва. Коэффициенты разложения Карунена — Лоэва являются некоррелированными (ввиду ортогональности ) случайными величинами [59]. Отметим, что для стационарных процессов, когда корреляционная функция зависит только от разности аргументов

при когда Т становится достаточно большим по сравнению с протяженностью собственные функции приближаются к комплексным экспонентам с частотами двумерном случае .