8.3. Учет неопределенности в задании объекта и неоднородности изображения. Локализация на «смазанных изображениях»

Рассмотрим теперь случай, когда нельзя считать -функцией, т. е. объект известен неточно. Изображение будем считать по-прежнему пространственнооднородным. Теперь оптимальный измеритель должен обеспечить минимум интеграла

где определяется (8.10).

Измеритель с перебором.

Разобьем интервал возможных значений на подынтервалы, в пределах которых можно считать постоянной. Тогда

где — представитель интервала; площадь под на интервале.

Рис. 8.4. (см. скан)

Поскольку то минимально, если минимально

Таким образом, задача свелась к предыдущей задаче локализации точно известного объекта. Разница только в том, что теперь нужно строить измеритель с фильтром

отдельно для каждого «представителя» объекта из всех возможных его вариаций, т. е. считать, что имеется не один заданный объект, а несколько, отличающихся друг от друга значениями неизвестных параметров. Это, конечно, приводит к потерям времени обработки на перебор.

Измеритель, настроенный на усредненный объект.

Если разброс параметров невелик, можно ценой некоторого увеличения частоты аномальных ошибок решать задачу так, как если бы объект был известен точно, скорректировав оптимальный фильтр с учетом разброса параметров объекта. Чтобы найти скорректированную характеристику фильтра, произведем в (8.26) замену переменных и изменим порядок интегрирования:

Внутренний интеграл в (8.30) представляет собой свертку двух распределений, или распределение разности двух независимых величин и Обозначим это распределение . Его среднее значение равно разности средних значений распределений а дисперсия — сумме дисперсий этих распределений, т. е. где — дисперсия распределения Поэтому

Тем самым задача свелась к рассмотренной в § 8.2, и по аналогии с (8.20) можно записать следующее выражение для частотной характеристики оптимального фильтра:

где функция, комплексно-сопряженная со спектром объекта, усредненным по множеству его неизвестных параметров (усреднение по

— такое же среднее квадрата разности.

Отсюда видно, что оптимальный фильтр несколько видоизменяется по сравнению с детерминированным случаем, когда объект точно известен: он строится на основе «усредненного» объекта и энергетического спектра фонового изображения, скорректированного на среднее квадратическое энергетического спектра вариаций объекта.

Впрочем, основываясь на соображениях относительно оценки энергетического спектра фонового изображения, приведенных в § 8.2 в связи с (8.23), и на том, что дисперсия распределения должна быть достаточно малой, чтобы использование усредненного объекта в качестве эталона имело смысл, можно предположить, что поправка в знаменателе (8.33) при малой площади объекта по сравнению с площадью изображения невелика и ею можно пренебречь.

Использованное выше предположение о пространственной однородности изображения, т. е. о независимости гистограммы от участка, на котором она измерена, редко выполняется на практике. Чаще всего правильнее считать, что изображение не является пространственно-однородным в указанном в § 8.2 смысле. Поэтому обратимся к общей формуле (8.5).

В зависимости от реализационных ограничений можно выбрать одну из двух возможностей достижения минимума Q.

Перестраиваемый измеритель с пофрагментной оптимальной фильтрацией.

При заданных минимум достигается при минимуме всех

Это означает, что линейный фильтр, преобразующий изображение, должен быть перестраиваемым и производить обработку изображения по фрагментам, в пределах которых изображение можно считать

пространственно-однородным. Для каждого фрагмента оптимальная характеристика фильтра находится по (8.18) или (8.32) на основе измерения локального наблюдаемого энергетического спектра фрагментов (с учетом сделанных выше оговорок о влиянии на наблюдаемый спектр изображения спектра объекта). В соответствии с представлением (8.5) переход от фрагмента к фрагменту происходит скачком. Но по смыслу (8.5) нетрудно понять, что в принципе из нее вытекает скользящий алгоритм обработки, основанный на оценке текущего локального энергетического спектра изображения, так как веса ошибок могут задаваться непрерывной функцией. Отметим также, что при пофрагментной и скользящей обработке перестраиваемым фильтром характеристика фильтра не зависит от весов или соответствующей непрерывной функции.

Для оценки локального спектра можно пользоваться рекуррентным алгоритмом, описанным в § 4.7.

Неперестраиваемый измеритель.

Если невозможно реализовать перестраиваемый измеритель с пофрагментной или скользящей обработкой, измеритель должен настраиваться на усредненный по энергетический спектр фрагментов изображения. Действительно, из (8.5) вытекает, что

где — усредненная гистограмма Отсюда по аналогии с (8.20) и (8.32) можно заключить, что

где

Таким образом, в этом случае передаточная характеристика оптимального фильтра зависит от весов

Иногда наблюдаемое изображение, содержащее искомый объект, расфокусировано или смазано из-за условий фотосъемки или несовершенства объективов. Как уже было отмечено в гл. 6, этот эффект обычно можно описать как результат действия на сфокусированное поле некоторой линейной системы. Рассмотрим для простоты случай пространственно-инвариантной системы. Такая система полностью характеризуется своей частотной характеристикой. Обозначим ее Оптимальный измеритель, очевидно, должен настраиваться на объект, прошедший то же преобразование, что и наблюдаемое изображение, т. е. передаточная характеристика его фильтра должна определяться соотношением

В зависимости от того, как удобнее реализовать этот фильтр и в каком виде задан эталонный объект, возможны различные модификации этой формулы. Например, представление в виде

соответствует измерителю, в котором наблюдаемое смазанное изображение спектра подвергается «разбелива-нию» фильтром (операции, делающей его энергетический спектр почти равномерным, откуда по аналогии с термином «белый шум» и произошел термин «разбеливание») и затем коррелированию с эталоном Отношение можно рассматривать как спектр изображения на выходе фильтра, обратного расфокусирующему, т. е. как спектр изображения, скорректированного обратным фильтром. При таком подходе прослеживается связь между задачами локализации на смазанных изображениях и восстановления смазанных изображений (см. § 6.3). Еще глубже она обнаруживается, если рассмотреть случай, когда наблюдаемое изображение есть

сумма расфокусированного изображения и аддитивного независимого шума.

Пусть — энергетический спектр такого шума. Тогда средний энергетический спектр наблюдаемого фонового изображения может быть записан как

где — спектр сфокусированного изображения. Подставив это выражение в (8.38), получим

Таким образом, оптимальный фильтр состоит из двух последовательных фильтров: оптимального винеровского восстанавливающего фильтра (первый сомножитель в (8.41), см. § 6.3) и оптимального фильтра типа (8.20) для сфокусированного изображения.