1.3. Наиболее употребительные системы базисных функций

Импульсные базисные функции.

В одномерном случае это функции вида

где

Функции ортогональны на всей оси . Пространство, натянутое на этог базис, составляют ступенчатые функции. Взаимный базис для этой системы функций образуют функции

Двумерные импульсные функции в прямоугольных координатах можно определить аналогично (1.35):

Взаимной является система функций

Представлением сигналов по этим базисам являются их средние значения на соответствующих интервалах:

Гармонические функции.

В одномерном случае это ортогональные на интервале функции одного из трех видов:

Наиболее употребительными из них являются комплексные экспоненциальные функции (1.39 в). Пространство, натянутое на базис (1.39 в), составляют сигналы, заданные на отрезке длиной а также периодические сигналы с периодом Разложение сигналов по этим базисным функциям называется разложением в ряд Фурье.

Взаимный базис образуют функции

Коэффициенты ряда Фурье вычисляются по формуле

Комплексные экспоненты образуют так называемую мультипликативную систему функций: произведение двух функций также дает функцию из системы, причем номер функции произведения равен сумме номеров сомножителей, а произведение двух функций с одним и тем же номером, но с разными аргументами дает ту же функцию при значении аргументов, равном сумме аргументов сомножителей.

Двумерный базис, составленный из комплексных экспонент, определяется обычно в прямоугольных координатах через произведение одномерных функций

Пространство, натянутое на этот базис, составляют функции, заданные в прямоугольнике и периодические двумерные сигналы с периодом в виде этого прямоугольника.

Функции Уолша.

Функции Уолша замечательны тем, что принимают всего два значения. Рассмотрим сначала

одномерное функции Уолша. Они порождаются функциями Радемахера

Графики первых четырех функций Радемахера показаны на рис. 1.1. Любые две функции Радемахера ортогональны между собой. Но система функций не является полной: на отрезке существуют и другие функции, ортогональные функциям Радемахера (1.43).

Рис. 1.1.

Рис. 1.2.

Таковы, например, функции

Функции Уолша являются расширением системы функций Радемахера до полной системы. Они определяются так [55]:

где разряд кода Грэя номера к. Код Грэя образуется из двоичного номера к по следующему правилу:

где — номер двоичного разряда (справа налево); двоичный разряд в двоичной записи номера , а знак означает сложение по модулю 2.

Графики первых восьми функций Уолша показаны на рис. 1.2. Формула (1.44) помогает понять природу функций Уолша. Для их вычислений в ЦВМ удобнее иная форма представления функций Уолша — через значения разрядов двоичного кода нормированного значения аргумента

где

Функции Уолша ортонормальны на отрезке Они, как и комплексные экспоненты, образуют мультипликативную систему функций. Произведение двух функций Уолша также является функцией Уолша:

где означает поразрядное сложение по модулю 2. При перемножении двух функций Уолша происходит сдвиг по индексу или по аргументу, называемый в отличие от арифметического сдвига диадическим.

Двумерные функции Уолша обычно определяются как произведение одномерных:

При этом считается, что заданы в прямоугольных координатах. При таком определении двумерное интегрирование при вычислении коэффициентов разложения Уолша по (1.23) сводится к двум одномерным.

Первые 16 двумерных функций Уолша показаны на рис. 1.3.

Функции Хаара.

Сочетание импульсных функций и функций Радемахера порождает еще одну интересную с точки зрения цифровой обработки систему ортогональных функций — функции Хаара. Одномерные

функции Хаара определяются на интервале следующим образом:

где — функция Радемахера (1.43); определена (1.36); — номер самого старшего ненулевого разряда в двоичном представлении — величина к по модулю

Рис. 1.3.

Функции Хаара ортонормальны на интервале . Численное значение функции Хаара в каждой точке можно найти, выразив его, как и в случае функций Уолша, через представление агрумента в двоичном коде:

где символ Кронекера; — двоичное число, составленное из старших двоичных разрядов числа .

Графики первых восьми функций Хаара показаны на рис. 1.4.

Рис. 1.4.

Рис. 1.5.

Двумерные (и многомерные) функции Хаара обычно определяются как произведение одномерных:

Первые 16 двумерных функций Хаара изображены на рис. 1.5.

Функции отсчетов.

Функциями отсчетов называют функции, определяемые в одномерном случае как

Эти функции ортогональны на интервале

Отсюда видно, что взаимный базис к Ним образуют функции вида

Функции отсчетов обычно используются для дискретного представления сигналов по теореме отсчетов (см. § 2.3). Такое название они получили потому, что для сигналов с ограниченным спектром Фурье (см. § 1.4, 2.3) коэффициенты представления по этим базисным функциям являются просто значениями (или отсчетами) сигналов при

Двумерные функции отсчетов обычно определяются как произведение одномерных функций.