8.2. Локализация точно известного объекта на пространственно-однородном изображении

Предположим, что искомый объект задан точно. В данном случае это означает, что может быть точно вычислен отклик на этот объект любого фильтра, т. е. -функция:

Тогда выражение (8.5), определяющее качество локализации, перейдет в

или, если обозначить

в

Будем считать, что изображение пространственнооднородно, если не зависят от Обозначим

гистограмму такого однородного изображения

где — площадь изображения; — весовая функция ошибок определения координат по изображению.

При локализации на таком изображении

Найдем сначала частотную характеристику фильтра, оптимального для пространственно-однородного изображения. Выбор влияет как на величину так и на гистограмму Поскольку Во — величина отклика фильтра в месте локализации объекта, ее можно найти, зная спектр объекта как

Что касается связи то она имеет, вообще говоря, сложный характер. Явную зависимость от можно записать только для второго момента гистограммы воспользовавшись соотношением Парсеваля для преобразования Фурье (см. табл. 1.2, 1.3, строка 17):

где площадь анализируемого изображения без учета площади, занимаемой сигналом от искомого объекта на выходе фильтра; спектр Фурье изображения, в котором значения сигнала на участке, занятом искомым объектом, заменены нулевыми значениями, а

Поэтому мы будем опираться на известное в теории вероятностей неравенство Чебышева, которое для гистограмм выглядит следующим образом:

и потребуем, чтобы отношение

было минимальным.

Это условие эквивалентно условию максимума величины

Для отыскания минимума по воспользуемся неравенством Шварца (8.2):

из которого вытекает, что максимальное значение

достигается при

Эта формула сходна с (8.1), но смысл знаменателя в ней другой. Здесь это энергетический спектр той части наблюдаемого изображения, которая не содержит объект и, таким образом, выступает в качестве «шума».

Выразим через спектр наблюдаемого изображения и спектр искомого объекта Очевидно,

т. е.

Тогда, подставив (8.22) в (8.14), получим

где

— спектр весовой функции

Обычно площадь, занимаемая искомым объектом на изображении, намного меньше площади самого изображения. Поэтому на практике часто можно пользоваться приближенной оценкой

Очевидно, если требуется построить оптимальный фильтр для набора изображений, то в формулы (8.23) и (8.25) следует подставлять вместо результат усреднения спектров изображений по заданному набору.

Найденный оптимальный фильтр может быть сравнительно просто реализован оптическими средствами [72] и дает очень хорошие результаты [22].

При реализации его в цифровых процессорах естественней всего использовать обработку сигнала в частотной области, поскольку частотная характеристика (8.20) оптимального фильтра основывается на измерениях спектра наблюдаемого изображения.

Рис. 8.1.

Приведем результаты экспериментов по моделированию на ЦВМ оптимального линейного измерителя и сравнению его с традиционным коррелятором. На рис. 8.1 показано изображение размером 512x512 элементов, с которым проводились эксперименты по измерению координат наложенных на него 20 тестовых квадратных темных меток размером 5x5 элементов. Схема расположения

последних показана на рис. 8.2. Числа в квадратиках на рис. 8.2 указывают порядковый номер соответствующих пятен в списке 20 старших максимумов сигнала на выходе оптимального фильтра. Как видно из этой схемы, тестовые объекты нанесены на различных по структуре участках аэрофотоснимка, что позволяет оценить работу коррелятора и оптимального-линейного измерителя в разных условиях.

Рис. 8.2.

Контраст меток составлял примерно 25% от размаха видеосигнала на аэрофотоснимке. Отношение амплитуды метки к среднеквадратическому значению видеосигнала на фоновом изображении около 1,5.

Результаты моделирования иллюстрируются рис. 8.3 и 8.4. На рис. 8.3 показаны (сверху вниз) графики сечения

Рис. 8.3.

исходного видеосигнала, выхода коррелятора и оптимального фильтра, проходящего через центры меток 12 и 15 (см. рис. 8.1, 8.2). На графике выходного сигнала коррелятора хорошо видны корреляционные пики тестовых меток и пики функции взаимной корреляции тестовых меток с деталями фонового изображения, в том числе превышающие корреляционные и дающие вследствие этого ложные решения. Картина таких решений, принятых по превышению сигналом порога, показана на рис. 8.4. Порог подбирался из условия обнаружения всех меток без пропусков. При этом, как видно из рис. 8.4, количество ложных обнаружений очень велико. Сравнивая нижний график на рис. 8.3 со средним, можно оценить, насколько оптимальный фильтр облегчает решающему устройству задачу локализации. На данном снимке это позволило безошибочно найти координаты всех 20 тестовых пятен.