5.2. Оценка корреляционных функций и спектров

С помощью корреляционных функций и энергетических спектров обычно описывают так называемые стационарные эргодические случайные процессы (в двумерном случае — пространственно-однородные эргодические случайные поля). Для таких процессов эти понятия определяются следующим образом (см., например [5]).

Взаимная корреляционная функция процессов a(t) и b(t)

Корреляционная функция процесса a(t)

Энергетический спектр процесса a(t)

Применяя теорему отсчетов (см. § 2.3), можно получить соответствующие определения для дискретных процессов — результатов дискретизации непрерывных процессов:

где — отсчеты процессов, корреляционных функций и спектров соответственно,

количество отсчетов корреляционной функций, рассматриваемой как сигнал.

Эти формулы предполагают, что анализируемые сигналы имеют бесконечную протяженность. Для цифровых же сигналов речь может идти лишь о том, что количество отсчетов — более или менее велико и отсчеты с номерами, большими N, не определены. Поэтому получающиеся при конечном N формулы для корреляционных функций

рассматриваются как способ статистической оценки непрерывных корреляционных функций сигналов по их цифровому представлению, а энергетический спектр, получаемый с помощью дискретного преобразования Фурье от оценок корреляционных функций, рассматривается как оценка непрерывного энергетического спектра.

При расчетах по формулам (5.16) и (5.17) приходится сталкиваться с теми же краевыми эффектами, что и вообще при цифровой фильтрации. Поэтому здесь применимы те же способы доопределения отсчетов сигналов, которые были рассмотрены в § 3.5. Если заменять недостающие отсчеты нулями, то оценка корреляционных функций по (5.16), (5.17) оказывается смещенной, поскольку часть слагаемых (тем большая, чем больше выпадает. В этом случае рекомендуется пользоваться модифицированной формулой вида

которая дает лучшую оценку корреляционной функции непрерывного сигнала для больших при фиксированном N.

Формулы (5.16), (5.17) для корреляционной функции родственны формуле (3.16) для цифровой свертки. Поэтому для вычисления корреляционных функций используются те же алгоритмы, что и для вычисления

свертки: прямое вычисление по (5.16), (517), ускоренные алгоритмы с уменьшенным числом умножений (как в § 4.8, см. также [82]); вычисление с помощью ДПФ и СДПФ (см. § 3.8) и такие же способы доопределения сигнала. Использование СДПФ позволяет получить оценки значений корреляционной функции сигналов в любых точках между их отсчетами. В последнее время стали разрабатываться методы вычисления корреляционных функций с помощью преобразований Уолша [105, 120, 131].

Для оценки энергетического спектра изображений обычно используется квадрат модуля его ДПФ или СДПФ (если требуются значения спектра в произвольных точках) благодаря тому, что для вычисления ДПФ и СДПФ можно воспользоваться алгоритмами БПФ. В соответствии с теоремой отсчетов разрешающая способность такого метода по частоте равна ширине полосы (для двумерных сигналов — площади пространственного спектра), поделенной на количество отсчетов последовательности, полученной в результате дискретизации.

Если анализируемые сигналы рассматриваются как реализации некоторого ансамбля случайных сигналов, то для получения спектра, характеризующего весь ансамбль сигналов в целом, необходимо сглаживать оценки спектров, найденные для отдельных реализаций. Для этого прибегают к методам, аналогичным методам сглаживания оценки распределений. Важнейшими из них являются следующие (см. [5, 20]):

Усреднение локальных спектров. Анализируемый сигнал разбивается на фрагменты, размер которых соответствует требуемой разрешающей способности анализа по частоте. Сглаженная оценка спектра находится как среднее

оценок спектра для каждого фрагмента (локальных спектров).

Маскирование анализируемого процесса гладкой функцией.

Если реализация анализируемого процесса недостаточно длинна, чтобы воспользоваться предыдущим методом, ее умножают на некоторую гладкую функцию, более или менее плавно спадающую к краям — так называемую

функцию «окна», — и находят энергетический спектр такого маскированного процесса.

Прямое сглаживание спектра.

Осуществляется путем свертки полученной оценки энергетического спектра с нормированной гладкой функцией, простирающейся на несколько отсчетов:

Этот метод менее эффективен в вычислительном отношении, но может оказаться полезным, когда нужно иметь как сглаженную, так и несглаженную оценки спектра.