3.3. Цифровые фильтры

При обработке изображений используются как одномерные, так и двумерные линейные преобразования. Цифровая реализация этих преобразований называется цифровой фильтрацией. Способы цифровой фильтрации двумерных сигналов, основанные на представлении сигналов и импульсных реакций фильтров по теореме отсчетов, как в формулах (3.16)-(3.18), называются фильтрацией в пространственной области. Ниже будет показано, что фильтрация сигналов может быть осуществлена путем преобразования их спектров (см. § 3.8). Такая фильтрация называется фильтрацией в частотной области (в области пространственных частот). В этом параграфе будут разобраны разные подходы к цифровой фильтрации в пространственной области.

Рассмотрим сначала одномерные фильтры. Цифровой фильтр, реализуемый в цифровом процессоре непосредственно по формуле (3.16), называется трансверсальным, или нерекурсивным ([11, 16]). В вычислительной машине для вычислений по этой формуле необходимо выполнить операций умножения и операций сложения на один отсчет преобразованного сигнала.

Существует класс операторов, вид ядра которых позволяет преобразовать (3.16) в рекурсивное соотношение

Нетрудно проверить, что отсчеты импульсной реакции таких фильтров должны удовлетворять соотношению

Вычисления последовательности значений по формуле (3.19) требуют меньшего числа операций на один отсчет, чем по (3.16), так как они используют результаты предыдущих вычислений. Например, при

т. е. каждое значение может быть найдено посредством только двух умножений и одного сложения, тогда как в прямой сумме (3.16), где

количество членов, вообще говоря, бесконечно велико, поскольку никогда не обращается в нуль. Это преимущество в быстродействии заставляет всегда искать возможность аппроксимации требуемого фильтра рекурсивным. Хотя в принципе такая аппроксимация может быть построена на базе соотношения (3.20), удобнее пользоваться частотными характеристиками, которые рассматриваются в следующем параграфе.

Соотношение (3.19) описывает простейший рекурсивный цифровой фильтр. В общем случае рекурсивный цифровой фильтр определяется соотношением

где и — количество слагаемых в трансверсальной и рекурсивной частях формулы соответственно.

Примером возможности рекурсивного представления служит часто используемый при цифровой обработке изображений фильтр, вычисляющий текущее среднее сигнала на данном отрезке:

В этом случае отсчеты импульсной реакции фильтра и (3.24) может быть преобразовано в рекурсивную форму:

Нетрудно видеть, что (3.25) является частным случаем соотношения (3.23). Таким образом, построив вычисления по (3.25), можно вычислить текущее среднее сигнала не за сложений на один отсчет среднего, как в (3.24), а только за три. Замечательно, что число операций здесь не зависит от количества отсчетов, по которым происходит усреднение.

Двумерный нерекурсивный фильтр определяется соотношением (3.18). В двумерном случае также возможно построение рекурсивных фильтров, но при этом необходимо задаться направлением рекурсии. Если считать «прошлыми» значения сигнала сверху и слева от данного отсчета и нумеровать отсчеты слева направо и сверху вниз, то формулу (3.23) одномерного рекурсивного фильтра можно обобщить на двумерный случай следующим образом:

Существует еще один класс двумерных цифровых фильтров, представляющих особый интерес с точки зрения экономии вычислительных затрат, — двумерные разделимые фильтры. Это фильтры, импульсная реакция которых может быть представлена в виде произведения одномерных функций: —

Для таких фильтров формула (3.17) переходит в

которую можно вычислять рекурсивно. Действительно, обозначив внутреннюю сумму в (3.27) через получим:

где величины под знаком суммы те же, которые использовались при вычислении на предыдущем шаге, кроме одной, Поэтому для вычисления одного отсчета по (3.28) требуется выполнить операций умножения и операций сложения, а не ответственно, как требуется для вычислений по формуле (3.17).

Примером двумерного разделимого фильтра является фильтр, используемый для получения текущего среднего

значения сигнала по прямоугольной окрестности:

Разделимое представление (3.27) импульсной реакции требуемого двумерного фильтра не всегда возможно. Можно поставить задачу об аппроксимации требуемой функции суммой разделимых функций:

Если число членов в этой сумме невелико, такая замена одного фильтра несколькими также может быть эффективней в вычислительном отношении, чем фильтрация по (3.18). Задача о наилучшем представлении (3.30) родственна задаче о наилучшем конечно-мерном приближении сигналов [47, 62].

Возможность представления импульсной реакции двумерного фильтра в разделимой форме в большой степени зависит от выбора системы координат. Например, импульсная реакция изотропных фильтров, которые часто встречаются в задачах обработки изображений, получаемых с помощью оптических изображающих систем, в прямоугольной системе координат является функцией суммы квадратов координат , вообще говоря, не может быть представлена в разделимой форме. В полярной системе координат та же импульсная реакция не только разделима, но и просто является функцией одной переменной.

Выбор системы координат при обработке изображений важен также с точки зрения возможности рассматривать фильтры как инвариантные к сдвигу, или как пространственно-однородные. В ряде случаев фильтр можно сделать пространственно-однородным, если выбрать специальную систему координат с нелинейной шкалой по координатам (см., например, [48, 50]).

Представление (3.30) импульсной реакции фильтра в виде суммы импульсных реакций более простого вида соответствует тому, что фильтрация сигнала осуществляется параллельно несколькими фильтрами и результаты

фильтрации складываются. Такое представление можно назвать параллельно-каскадным. Возможно также последовательно-каскадное представление цифровых фильтров. В этом случае требуемая импульсная реакция представляется в виде свертки импульсных реакций более простого вида:

что соответствует последовательному пропусканию сигнала через несколько фильтров.

В одномерном случае последовательно-каскадное представление фильтра не дает выигрыша в количестве операций, если фильтры каскадов не могут быть построены как рекурсивные, и даже уступает однокаскадному представлению. Действительно, пусть N — количество отсчетов (протяженность) импульсной реакции фильтров в каждом каскаде в (3.31). Тогда протяженность импульсной реакции при каскадах составит отсчет. Это значит, что если производить фильтрацию таким однокаскадным фильтром по формуле (3.16), то требуется выполнить операцию на каждый отсчет сигнала, а при последовательнокаскадной фильтрации фильтрами требуется операций, т. е. больше. Но двумерные последовательно-каскадные фильтры могут быть значительно выгоднее однокаскадных, так как в двумерном случае последние требуют затраты операций вместо для эквивалентного последовательно-каскадного фильтра с протяженностью импульсной реакции каждого из каскадов отсчетов.

Поэтому последовательно-каскадное представление двумерных фильтров представляет большой резерв экономии машинного времени при обработке сигналов на ЦВМ и соответственно аппаратных средств в специали-зированных процессорах. Анализировать возможность представления фильтра. в последовательно-каскадной форме удобнее, пользуясь частотными характеристиками, которые рассматриваются в следующем параграфе.