6.3. Коррекция линейных искажений

Большинство изображающих систем можно, по крайней мере в первом приближении, рассматривать как линейные, инвариантные к сдвигу. Одной из основных характеристик таких систем является импульсная реакция или ее преобразование Фурье — частотная характеристика, показывающая, как в этой системе передаются пространственные гармоники изображения. Идеальной можно назвать такую изображающую систему, которая не изменяет пространственный спектр сигнала, т. е. систему с равномерной частотной характеристикой в пределах

области пространственных частот, занятых спектром изображений. Характеристики реальных изображающих систем — оптических, фотографических, телевизионных — отличаются от идеальных. В результате изображения на выходе таких систем претерпевают искажения. Их называют линейными искажениями. Чаще всего эти искажения заключаются в том, что изображающая система ослабляет верхние пространственные частоты изображения. Визуально это приводит к ухудшению резкости изображения.

Так как спектр Фурье сигнала на выходе линейного фильтра, инвариантного к сдвигу, равен произведению спектра входного сигнала на частотную характеристику фильтра (см. (1.114)), то при отсутствии шумов задача коррекции линейных искажений сводится к отысканию линейного фильтра с частотной характеристикой, обратной частотной характеристике системы в области частот, занятой изображением. Если система ослабляет какие-то пространственные частоты, то восстанавливающий фильтр должен эти частоты усиливать тем сильнее, чем больше ослабление.

Однако обычно корректируемый сигнал содержит шумы. Действие обратного фильтра может привести к усилению этих шумов, тем более значительному, чем больше требуемая коррекция ослабленных спектральных составляющих изображения. Поэтому обратная фильтрация, улучшая качество изображения по одному показателю — резкости, может ухудшить его по другому — зашумленности. Очевидно, существует оптимальная степень коррекции, когда резкость в достаточной степени восстанавливается, а шум еще не слишком велик. Чтобы ее найти, необходимо задаться критерием верности воспроизведения изображения.

Если отличие восстановленного изображения от идеального оценивать по среднеквадратичному критерию (см. § 1.2), частотная характеристика оптимального восстанавливающего фильтра определяется по частотной характеристике корректируемой системы выражением [62]

где — знак комплексного сопряжения; — поправка, равная отношению энергетического спектра Фурье

шума к энергетическому спектру ансамбля изображений рассматриваемых как случайные поля.

Как и при коррекции амплитудных характеристик, необходимо учитывать, что коррекция линейных искажений производится обычно перед синтезом изображения. Фотографический или другой регистратор, используемый для воспроизведения скорректированного изображения, также обладает отличной от идеальной частотной характеристикой, которую необходимо учесть при коррекции. Если частотную характеристику системы до того участка, где может быть произведена коррекция, обозначить через , а частотную характеристику остальной части системы через то можно получить, что оптимальная по среднеквадратичному критерию частотная характеристика корректирующего фильтра определяется выражением

Следует отметить, что при цифровой обработке в качестве шума выступает не только шум, имеющийся в корректируемом видеосигнале, но и шум квантования и ошибки, связанные с ограниченной точностью вычислений в процессоре.

Возможны два способа цифровой реализации корректирующего фильтра: с помощью обработки дискретного спектра Фурье с использованием алгоритма БПФ (см. § 3.8) или с помощью цифровых фильтров (§ 3.2, 3.3). В первом случае отсчеты частотной характеристики (6.6) умножают на отсчеты дискретного спектра корректируемого видеосигнала, после чего выполняют обратное ДПФ. Для ослабления краевых эффектов фильтрации при этом целесообразно прибегать к четному продолжению сигнала (см. § 3.5), а для сокращения времени обработки использовать совмещенные алгоритмы ДПФ и СДПФ (§ 4.6). Во втором случае частотная характеристика (6.6) используется для отыскания отсчетов импульсной реакции цифрового фильтра (о связи между ними см. § 3.3, 3.4). Для ослабления краевых эффектов

(кликните для просмотра скана)

здесь также целесообразно четное продолжение сигнала.

Выбор между этими двумя способами реализации определяется требуемым объемом вычислений и емкостью запоминающих устройств. Практически оказывается, что если корректирующий цифровой фильтр не может быть удовлетворительно аппроксимирован разделимым и рекурсивным (см. § 3.3), обработка в спектральной области с использованием алгоритмов БПФ требует обычно меньших вычислительных затрат. Несколько расширяют область применения цифровых фильтров приемы, подобные описанным в § 4.8.

Рис. 6.5.

Результат коррекции четкости изображения с использованием обработки спектров показан на рис. 6.4 (а — исходное дефокусированное изображение; — изображение после коррекции). На рис. 6.4, б можно заметить эффекты усиления шума в результате коррекции. Источником шума в данном случае был шум равномерного квантования отсчетов дискретного спектра изображения на 256 уровней.

Рисунки 6.5, 6.6 иллюстрируют результаты коррекции четкости изображений, переданных автоматическими межпланетными станциями «Марс-4» и «Марс-5» [1]. Коррекция была выполнена с помощью простого разделимого рекурсивного цифрового фильтра типа (3.29), преобразующего отсчеты корректируемого видеосигнала по формуле

Коэффициент усиления разностного сигнала и размеры окрестности по которой производится усреднение, выбирались из условия аппроксимации

требуемой частотной характеристики корректирующего фильтра частотной характеристикой фильтра (6.7), равной (см. 3.40))

где — размеры прямоугольника, ограничивающего пространственный спектр изображения, в соответствии с которыми производилась дискретизация сигнала.

Рис. 6.6. (см. скан)

На рис. 6.5 штриховой линией показано сечение частотной характеристики системы, подлежавшей коррекции [51], а штрих-пунктирной линией — корректирующая частотная характеристика (6.8) для . Кривая 1 на этом рисунке — частотная характеристика, полученная в результате коррекции. Если учесть частотную характеристику фоторегистрирующего устройства, с помощью которого производилось воспроизведение скорректированного изображения, то получается суммарная характеристика, показанная кривой 2 на рис. 6.5.

Таким образом, в результате цифровой коррекции полоса пропускания пространственных частот по уровню

0,7 (уровень половинной мощности) увеличилась более чем в два раза. Как это сказалось на визуально оцениваемой резкости изображения, можно судить по рис. 6.6, где показаны изображения до коррекции (а) и после нее (б).

В этой задаче использование для коррекции разделимого рекурсивного фильтра оказалось возможным благодаря тому, что искаженная характеристика системы имеет достаточно простой вид. Этот фильтр дает не вполне совершенную коррекцию. Так, на «средних» частотах он приводит к некоторой перекоррекции. Но обработка изображения с помощью такого фильтра занимает в несколько десятков раз меньше времени, чем потребовалось бы при обработке в спектральной области с помощью алгоритмов БПФ.

Мы рассмотрели коррекцию частотных характеристик инвариантных к сдвигу (пространственно-однородных) систем. Коррекция пространственно-неоднородных систем сложнее. Как уже отмечалось в § 3.3, в некоторых случаях цифровая коррекция таких систем может быть выполнена сведением их к пространственно-однородным с помощью неравномерной дискретизации (подробнее см. [50, 62]).

Описанные в этом параграфе простые методы дают возможность восстанавливать изображение при сравнительно небольшой дефокусировке и, самое главное, небольшом шуме в корректируемом сигнале. Методы восстановления при значительной дефокусировке и шуме, а также неточно известных или случайных характеристиках дефокусировки, являются в настоящее время предметом интенсивных исследований [36, 78, 89].