1.7. Представление операторов по отношению к непрерывным базисам

Ядро оператора.

Сигналы и результаты действия на них линейных операторов могут быть представлены их спектрами по отношению к некоторому базисному ядру

Для оператора в силу его линейности имеем аналог Соотношения (1.78):

где связаны соотношением

где

— ядро, взаимное в смысле (1.60). Формула (1.92) — аналог (1.81). Можно сказать, что линейный оператор по отношению к непрерывному базису характеризуется ядром которое, в свою очередь, определяется откликами оператора на базисные функции.

Описание с помощью импульсной реакции.

Распространенным способом описания линейного оператора является его описание с помощью импульсной реакции. Такое описание соответствует базису из -функций:

Импульсной реакцией называется отклик оператора на -функцию:

Для такого базиса ядро преобразования

совпадает с импульсной реакцией, и (1.91) при соответствующей замене переменных имеет вид

Описание с помощью частотной характеристики.

Другим часто используемым базисом является базис который приводит к частотному представлению сигналов и операторов. В этом случае —преобразования Фурье от

Отклик оператора на базисную экспоненту равен

Поэтому ядром оператора по отношению к этому базису является

— так называемая частотная характеристика оператора.

Описание при разных базисах входных и выходных сигналов. Иногда входные и выходные сигналы оператора удобно предстазлять в разных базисах:

В этом случае

где

Так, например, для анализа пространственно-неоднородных систем удобно частотное описание входных сигналов, т. е. описание по базису и описание выходных сигналов по базису . В этом случае

где определяется (1.97).

Описание с помощью собственных функций. Наиболее удобным описанием операторов является их описание в базисе из собственных функций. Пусть — семейство собственных функций оператора — семейство его собственных значений:

Тогда ядро оператора по отношению к как к базису в соответствии с (1.92) равно

где функции, взаимные в смысле (1.60). Эта формула, очевидно, является непрерывным аналогом формулы (1.88).

Из (1.91) следует, что представление (спектр) выходного сигнала по собственному базису будет равно произведению спектра входного сигнала на спектр оператора: