Часть I. ОСНОВЫ ТЕОРИИ ЦИФРОВОЙ ОБРАБОТКИ СИГНАЛОВ

Глава 1. ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ СИГНАЛОВ

1.1. Сигналы как математические функции

Для аналитического описания сигналов и процессов их преобразования используют математические модели. Прежде всего сигналы рассматривают как функции, заданные в физических координатах. В этом смысле говорят об одномерных сигналах (например, зависящих от времени), двумерных, заданных на плоскости (например, изображения), трехмерных (характеризующих, например, пространственные объекты). Чаще всего в качестве математических моделей сигналов используются скалярные функции. Но иногда приходится прибегать к более сложным моделям — комплексным и векторным функциям. Например, для описания электромагнитного поля как сигнала удобно использовать комплексные функции, для описания цветных изображений — трехкомпонентные векторные функции, для описания данных многоспектральной съемки — четырех- шестикомпонентные векторные функции.

Важными общими характеристиками сигналов являются множества значений, которые могут принимать сами сигналы и их аргументы. Если сигнал и его аргументы принимают любые значения на отрезке или на бесконечной оси, т. е. несчетное множество значений, то сигнал называется непрерывным, или аналоговым (является как бы аналогом порождающих его природных объектов, обычно непрерывных). Сигнал, аргументы которого принимают только счетное множество значений, называется дискретным. Сигнал, который принимает счетное множество значений, называется квантованным. Дискретные квантованные сигналы называются цифровыми.

Классом сигналов, дуальных в известном смысле дискретным сигналам, является класс периодических сигналов. Они описываются периодическими функциями, определяемыми в одномерном случае соотношением

где k — натуральное число.

При переходе к двумерным и многомерным сигналам аргументы описывающих их функций можно рассматривать как векторы, заданные в той или иной системе координат. Выбор этой системы координат определяется обычно существом задачи, и от него сильно зависит простота аналитического описания сигналов. Поясним это на примере двумерных периодических сигналов.

Двумерный интервал — период периодического сигнала — это плоская фигура, а не отрезок. Если двумерный сигнал повторяется на плоскости с периодом в виде прямоугольника, то целесообразно использовать прямоугольную систему координат , в которой он записывается так:

Если же период является параллелограммом, то предпочтительней косоугольная система координат, в которой он также запишется в виде (1.2). В прямоугольной системе координат такой сигнал будет выглядеть сложнее:

где — проекции периодов по осям косоугольной системы координат на оси прямоугольной системы координат.

С точки зрения математического описания сигналов различают также детерминированное и вероятностное описания. При детерминированном описании сигналы рассматриваются изолированно, независимо друг от друга, и считается, что значение сигнала задано в каждой точке, где он определен. Однако иногда важно учитывать, что точное задание характеристик физических объектов невозможно, а измерить и учесть можно только некоторое число, так сказать, макропараметров, которыми могут обладать различные математические функции. В этих случаях используется вероятностное описание, т. е. сигналы рассматриваются как выборочные

функции или реализации Из некоторого ансамбля сигналов, и математическое описание строится не для каждого отдельного сигнала, а для ансамбля в целом.

Так как книга посвящена цифровой обработке изображений, то в основном в ней рассматриваются цифровые двумерные сигналы. Однако в цифровой обработке изображений цифровые сигналы это искусственные объекты, являющиеся результатом преобразования непрерывных сигналов. Чтобы пояснить связь между цифровыми сигналами и непрерывными, из которых они получены, рассмотрим сначала непрерывные сигналы. Условимся также, что при изложении в ряде случаев, когда это допустимо, для упрощения формул сигналы будем записывать как функции одной переменной независимо от того, являются ли эти сигналы одномерными или двумерными. Для последних эта переменная может рассматриваться как векторная.