2.2. Понятие о дискретизации и поэлементном квантовании

Перейдем к конкретным методам цифрового описания сигналов. Обобщенное квантование обычно трудно реализовать как единую процедуру. Поэтому на практике при преобразовании непрерывных сигналов в цифровую форму прибегают к двухступенчатой процедуре — дискретизации и поэлементному квантованию.

Дискретизация — это замена непрерывного сигнала последовательностью чисел, являющихся представлением этого сигнала по какому-либо ортонормированному базису. В случае, если данный сигнал не является элементом линейного пространства, натянутого на этот базис, отыскивается такой сигнал из этого пространства, который в некотором (специально оговоренном для каждой задачи!) смысле является наилучшим приближением данного сигнала, и затем уже отыскивается представление полученного аппроксимирующего сигнала. Базис линейного пространства может выбираться исходя из удобства физической реализации, точности аппроксимации и т. п.

Под наилучшим представлением сигнала в линейном нормированном пространстве с метрикой, порожденной нормой, и нормой, порожденной скалярным произведением (в гильбертовом пространстве), естественно понимать представление, при котором норма разности между сигналом и представляющим его вектором минимальна. Известно (см., например, [59]), что такое представление состоит в проектировании сигнала на N-мерное пространство, натянутое на данный базис, т. е. коэффициенты представления находятся как скалярные произведения сигнала на соответствующие базисные функции:

Поэлементное квантование — это квантование по отдельности каждого из чисел представляющих данный

сигнал по заданному базису, т. е. замена непрерывной и, вообще говоря, бесконечной шкалы значений дискретной и конечной. Дискретизация относится к классу линейных преобразований сигнала, поэлементное квантование — к классу поэлементных нелинейных.

Использование такой двухступенчатой процедуры цифрового описания означает, что в пространстве сигналов строятся области эквивалентности (ячейки квантования), представляющие собой гиперкубы с гранями, параллельными базисным координатным осям. Размеры граней определяются так называемым шагом квантования — интервалом квантования в данной точке шкалы чисел, соответствующих данной базисной функции. При такой процедуре задача оптимального квантования сводится к оптимальному выбору системы базисных функций и оптимальному расположению шкалы квантования по координатным осям, соответствующим этим базисным функциям, при которых получающиеся гиперкубы ячеек квантования наилучшим образом и в минимальном количестве упаковываются в -области, соответствующие заданному критерию точности цифрового представления.