2.9. Примеры оптимального квантования

Разберем несколько примеров выбора оптимального расположения и числа интервалов квантования. Для простоты будем опускать индекс к при а границы отрезка значений квантуемого сигнала будем обозначать и амакс.

Начнем с определения амакс. В задачах обработки изображений эти величины обычно либо заданы, либо определяются исходя из заданной вероятности превышения квантуемой величиной этих граничных значений:

Это соответствует заданию критерия граничной ошибки в выражениях (2.47 а) — (2.48 б) в виде

В дальнейших примерах будем предполагать именно такой подход к определению амин, и рассмотрим выбор оптимального квантования только внутри заданного диапазона (амин, Интервалы квантования будем нумеровать от 0 до

Пример 1. Пороговая метрика. Пусть

Такую метрику можно назвать пороговой, а соответствующий ей критерий точности — критерием незаметности ошибки квантования. Для этого критерия решение задачи оптимального расположения интервалов квантования и выбор числа интервалов тривиальны и сводятся к решению уравнения

Таким образом, ширина интервала квантования должна выбираться равной , а представителем уровня — значение в центре интервала. Если не зависит от получаем равномерную

шкалу квантования. При этом число уровней (интервалов) квантования определяется соотношением

Важным и часто встречающимся на практике является случай, когда

т. е. когда ограничено значение относительной, а не абсолютной ошибки квантования. Так, в соответствии с психофизическим законом Вебера — Фехнера можно в первом приближении описать требования к точности квантования значений яркости изображения, предъявляемые зрительной системой человека. Воспользовавшись (2.61), нетрудно показать, что в этом случае необходимо подвергать равномерному квантованию не саму величину а, а ее нормированный логарифм:

где

Число уровней квантования по такой логарифмической шкале должно быть равно

На практике так и поступают: перед равномерным квантованием сигнал подвергают логарифмическому предыскажению (компрессии), значения представителей интервалов квантования при восстановлении выбирают также по равномерной шкале, а затем синтезированный сигнал подвергают потенцированию (экспандированию).

Найдем количество уровней, требуемое при квантовании яркости изображений. Данные психофизических измерений показывают, что в обычных условиях освещения порог относительной контрастной чувствительности зрения оценивается величиной порядка для тестового пятна большой площади при длительной адаптации к фону [34]. Существующие устройства воспроизведения изображений могут обеспечить динамический диапазон яркостей порядка 100. Подставив эти величины в (2.74), получим

Прямые эксперименты с квантованием яркости с использованием телевизионных устройств воспроизведения изображений показали, что достаточно 64—128 уровней [92]. Снижение требований отчасти связано с наличием собственных шумов датчиков видеосигнала и устройств воспроизведения изображений. В настоящее время в устройствах квантования видеосигнала и восстановления изображений принята величина 64—256 уровней при логарифмическом предыскажении квантуемого видеосигнала.

Интересно оценить выигрыш в числе уровней квантования, даваемый логарифмическим предыскажением, по сравнению с равномерным квантованием при той же точности. Он, очевидно, равен

При больших выигрыш может быть достаточно велик. Так, при Однако выигрыш обычно не столь значителен, поскольку оценка погрешности по «наихудшему» случаю, как это делается в пороговом критерии, излишне строга с практической точки зрения.

Пример 2. Степенной критерий абсолютной ошибки квантования

Подставив (2.76) в (2.65) и решив получающееся дифференциальное уравнение, получим

Таким образом, требуемое нелинейное предыскажение зависит только от распределения вероятностей квантуемой величины. Смысл этой зависимости очевиден из соотношения

т. е. интервалы квантования значений а обратно пропорциональны плотности вероятностей этих значений в соответствующей степени.

Для распространенного случая оценки по среднеквадратическому значению ошибки квантования

В некоторых случаях можно приближенно считать, что квантуемые коэффициенты дискретного представления сигнала имеют

гауссову плотность распределения вероятностей в интервале

где с — константа нормировки.

Тогда при

где

Выигрыш в числе уровней квантования при заданной точности зависит в этих случаях от параметра

и равен

При достаточно больших эта величина примерно равна Таким образом, выигрыш становится ощутимым только при очень больших когда существенно сказываются «хвосты» распределения .

Пример 3. Степенной критерий относительной ошибки квантования

Из уравнения Эйлера — Лагранжа (2.65) для этого случая нетрудно получить

Если величина а имеет равномерное распределение, то

Для оценки точности квантования по среднему значению модуля относительной ошибки

Рис. 2.6.

Найдем выигрыш в числе уровней квантования, обеспечиваемый нелинейным предыскажением по (2.88) по сравнению с равномерным квантованием. Интервал квантования в этом случае равен

где — интервал равномерного квантования величины а среднее значение ошибки квантования

где — число уровней квантования

В то же время при равномерном квантовании на уровней

Из равенства получаем

Таким образом, при равномерном распределении выигрыш невелик. При он равен 1,4. Сравнивая этот результат с величиной полученной для порогового критерия относительной ошибки, мы видим, что при уете вероятностей различных значений сигнала выигрыш за счет нелинейного расположения уровней квантования значительно скромнее, чем при оценке по наихудшему случаю. Получающиеся для этих двух родственных случаев характеристики предыскажения показаны на рис. 2.6 ( 1 — логарифмическое предыскажение по (2.73); 2 — предыскажение по (2.88)). Штрих-пунктирной линией на этом рисунке показана линейная функция, соответствующая равномерному квантованию без предыскажения.