2.3. Теорема отсчетов

Самый распространенный способ дискретизации сигналов основывается на так называемой теореме отсчетов (теореме Котельникова): сигналы, спектр Фурье которых равен нулю за пределами интервала могут быть путем интерполяции восстановлены по своим отсчетам, взятым с шагом

Формула (2.7) представляет сигнал в виде разложения по базисным отсчетным функциям причем представлением сигнала по этому базису являются отсчеты самого сигнала

Справедливость представления (2.7) для любых сигналов с ограниченным спектром вытекает из следующих соотношений:

где — операция свертки.

Спектр Фурье свертки (2.9) по теореме о свертке (см. табл. 1.2, строка 16) равен произведению спектра функции (см. (1.120)) и спектра

(см. табл. 1.2, строка 22), т. е. повторенного с периодом спектра сигнала . Это произведение, очевидно, равно при , т. е. спектру сигнала так как при всех других Отсюда и следует (2.7).

Если спектр сигнала ограничен интервалом несимметричным относительно нуля, то с помощью аналогичных рассуждений нетрудно показать, что теорема отсчетов справедлива в следующем виде:

Способ, которым была доказана справедливость представления (2.7), наглядно иллюстрирует смысл преобразований непрерывного сигнала в последовательность отсчетов

и восстановления непрерывного сигнала из отсчетного по теореме отсчетов. Дискретному сигналу вида

составленному из отсчетов непрерывного сигнала, соответствует периодически продолженный спектр

непрерывного сигнала; восстановление непрерывного сигнала по его отсчетам может быть представлено как преобразование дискретного сигнала инвариантным к сдвигу линейным фильтром с прямоугольной частотной характеристикой (1.120).