3.10. Преобразование Хаара

Дискретное преобразование Хаара строится как преобразование последовательности отсчетов сигнала количество которых выбирается равным целой степени 2, по базису составленному из отсчетов функций Хаара (1.51):

Пусть Тогда согласно (1.51)

где — номер старшего равного единице разряда в двоичном представлении числа — двоичное число, составленное из старших разрядов двоичного числа знак поразрядного сложения по модулю 2; — двоичное число, составленное из младших

двоичных разрядов дельта-функция (символ) Кронекера.

В матричной форме преобразование Хаара описывается матрицей Хаара, строки которой составлены из функций :

Например, матрица выглядит следующим образом:

Матрицы Хаара ортогональны, но не симметричны. В отличие от матрицы Адамара они не являются кронекеровскими, но могут быть представлены в виде суммы кронекеровских матриц. Действительно, матрицы Хаара порядка могут быть разбиты на подматрицу кронекеровского типа в соответствии с номером старшего равного единице разряда номера строки, как показано в формуле (3.127) штриховыми линиями. Определим следующие пять элементарных матриц:

С помощью кронекеровских произведений этих элементарных матриц матрица Хаара может быть записана следующим образом:

где - кронекеровское произведение соответствующих элементарных матриц — «дополнительная» дельта-функция:

Так, например,