3.4. Частотные характеристики цифровых фильтров

Как уже отмечалось в § 2.5, линейные фильтры, инвариантные к сдвигу, удобно анализировать и описывать в частотной области, используя понятие ядра преобразования по экспоненциальному базису, т. е. частотной характеристики фильтра, и тот факт, что экспоненциальный базис является собственным базисом таких фильтров.

Частотной характеристикой цифрового фильтра, определяемого соотношением (3.16), называется частотная характеристика соответствующего ему непрерывного фильтра с импульсной реакцией (3.17):

Найдем связь коэффициентов цифрового фильтра с частотной характеристикой аппроксимируемого им непрерывного фильтра. Пусть — частотная характеристика последнего; частотная характеристика, полученная из ограничением (усечением) интервала частот. Тогда из (3.15) следует, что 00

Эта формула может использоваться при синтезе цифрового фильтра для определения по заданной частотной характеристике аппроксимируемого непрерывного фильтра. Определяемые по величины вообще говоря, отличны от нуля при всех ибо сигналы с ограниченной полосой частот имеют неограниченную протяженность, Частотная характеристика получающегося

цифрового фильтра с неограниченным числом членов равна

Из (3.33) следует, что являются коэффициентами разложения функции в ряд Фурье на отрезке (см. (1.41)). Поэтому (3.34) можно переписать в виде

(см. также табл. 1.2, строка 22), т. е. частотная характеристика цифрового фильтра с неограниченным числом членов представляет собой периодически повторенную с шагом усеченную частотную характеристику непрерывного фильтра. Ограничение количества коэффициентов как в (3.32), искажает эту частотную характеристику. Учесть это искажение можно, записав

Пользуясь теоремой о спектре произведения (см. табл. 1.2, строка 16), получаем

где означает операцию свертки (1.109). Первая из свертываемых функций описывает влияние на частотную характеристику цифрового фильтра ограничения числа членов в (3.17), вторая, очевидно, является частотной характеристикой фильтра с неограниченным числом членов

в (3.34). Подставив (3.35) в (3.37), окончательно получим

Таким образом, частотная характеристика цифрового фильтра, являющегося аппроксимацией непрерывного фильтра с частотной характеристикой представляет собой периодически повторенную с шагом усеченную по частоте характеристику сглаженную функцией

Следует отметить, что такое сглаживание приводит к наложению сглаженных функций на частотах вблизи границ интервала

Эффекты, связанные с переходом от непрерывного фильтра к дискретному с ограниченным количеством отсчетов импульсного отклика, проиллюстрированы на рис. 3.1 (а - частотная характеристика непрерывного фильтра; б — усеченного по спектру непрерывного фильтра; в — усеченного по спектру и ограниченного по протяженности импульсной реакции непрерывного фильтра; г — дискретного фильтра, определяемого отсчетами импульсной реакций фильтра рис. 3.1, в).

Рассмотрим в качестве примера частотную характеристику фильтра (3.24), вычисляющего текущее среднее последовательности отсчетов, т. е. фильтра с отсчетами импульсного отклика:

Подставив (3.39) в (3.32), найдем

Частотные характеристики, построенные для показаны на рис. 3.2, а, б соответственно. Для сравнения на рис. 3.2, а штриховой линией показана частотная характеристика соответствующего непрерывного фильтра с импульсной реакций

Рис. 3.1.

Нетрудно видеть, что при малом N различие между этими характеристиками может быть заметным.

Рассмотрим теперь частотные характеристики рекурсивных фильтров, определяемых в общем виде формулой

Следовательно, частотная характеристика цифрового рекурсивного фильтра может быть записана как

Все эти результаты могут быть применены и к двумерному случаю. Так, частотная характеристика двумерного неразделимого фильтра определяется выражением

Частотная характеристика двумерного разделимого фильтра есть разделимая функция

где определяются выражениями вида (3.32).

Частотная характеристика двумерного рекурсивного фильтра (3.26) записывается как

Очевидно, частотная характеристика параллельно-каскадного фильтра равна

а частотная характеристика последовательно-каскадного фильтра —